正方行列は対称行列と非対称行列の和として表現できますか?

対称行列 - 転置が行列自体と等しい行列。そして、それは対称行列と呼ばれます。

反対称行列 - その転置が行列の負の値に等しい場合、それは反対称行列と呼ばれます。

対称行列と非対称行列の和は正方行列です。これらの行列の合計を求めるには、次の式があります。

A が正方行列であると仮定します。次に、

A = (1/2)*(A A`) (1/2 )*(A - A`),

A` が行列の転置になります。

(1/2 )(A A`) は対称行列です。

(1/2 )(A - A`) は反対称行列です。

例

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 3
void printMatrix(float mat[N][N]) {
   for (int i = 0; i < N; i++) {
      for (int j = 0; j < N; j++)
         cout << mat[i][j] << " ";
         cout << endl;
   }
}
int main() {
   float mat[N][N] = { { 2, -2, -4 },
   { -1, 3, 4 },
   { 1, -2, -3 } };
   float tr[N][N];
   for (int i = 0; i < N; i++)
   for (int j = 0; j < N; j++)
   tr[i][j] = mat[j][i];
   float symm[N][N], skewsymm[N][N];
   for (int i = 0; i < N; i++) {
      for (int j = 0; j < N; j++) {
         symm[i][j] = (mat[i][j] + tr[i][j]) / 2;
         skewsymm[i][j] = (mat[i][j] - tr[i][j]) / 2;
      }
   }
   cout << "Symmetric matrix-" << endl;
   printMatrix(symm);
   cout << "Skew Symmetric matrix-" << endl;
   printMatrix(skewsymm);
   return 0;
}

出力

Symmetric matrix -
2 -1.5 -1.5
-1.5 3 1
-1.5 1 -3
Skew Symmetric matrix -
0 -0.5 -2.5
0.5 0 3
2.5 -3 0

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