最適化された最長パスは NP 完全です

「アップグレード最長パス」問題は、NP 完全問題として分類される計算的に難しいタスクです。この問題では、重み付けされたエッジを含むグラフを想定して、エッジの負荷を拡大しながら、所定の開始ハブから終了ハブまでの最長のパスを見つけることが目的です。考えられる研究方法は大幅に進化しているため、あらゆる場合にこの問題を効率的に解決できる多項式時間計算は知られていません。すべてを考慮すると、科学者は推測的な計算と経験則に基づいて、最も近い理想的な配置を追跡します。この問題によるトラブルは、交通、企画業務、予約などさまざまな分野に影響を及ぼしている。

使用説明書

• ハミルトン経路問題を単純化する

• 既知の NP 完全問題を使用する

ハミルトン経路問題の単純化

NP 完全な「アップグレード最長パス」問題を解決する 1 つの方法は、有名な NP 完全問題 (ハミルトニアン 道路問題と呼ばれる) と比較した削減を示すことです。ハミルトン道路問題は、指定されたグラフに各頂点を 1 回だけ訪れるパスが含まれているかどうかを判断します。

＃＃＃アルゴリズム＃＃＃

ハミルトン道路問題を例として考えます。これはグラフ G です。
同様の頂点と辺を持つ、G と区別できない別のグラフ G' を作成します。
G' のすべてのエッジに重み 1 を割り当てます。
「強化された最長パス」問題の開始ピボットと終了ピボットを、G' の任意の 2 つの不安定なピボットに設定します。
G にハミルトニアン パスがある場合、G' の「アップグレードされた最長パス」は、エッジの負荷がエッジの数に等しく、エッジの数がエッジの数に等しい同様のハミルトニアン パスになります。頂点 1 つ。
G にハミルトン道路がない場合、この時点での G' の「流線型最長パス」は、開始ハブから終了ハブまでの直接パスとなり、エッジ荷重の量は等しくなります。エッジの数は、正確には短い頂点の数ではありません。
この減少は、「改善された最長経路」を解くことがハミルトン道路問題を解くのと同じくらい難しく、それが NP 完全問題になることを示しています。

• ＃＃＃例＃＃＃ リーリー ＃＃＃出力＃＃＃ リーリー
既知の NP 完全問題を使用する

もう 1 つの方法は、最長道路問題や営業担当者の移動問題 (直接 TSP) などの既知の NP 完全問題から「短縮された最長道路」を短縮することによって、その「短縮された最長道路」が NP 完全であることを証明することです。

＃＃＃アルゴリズム＃＃＃

最長パス問題が現れるとします。これは、理想的なパス長を求めるグラフ G と整数 k です。

同様の頂点と辺を持つ、G と変わらない別のグラフ G' を作成します。

• G' のすべてのエッジに重み 1 を割り当てます。

• 「強化された最長パス」問題の開始ピボットと終了ピボットを、G' の任意の 2 つの不安定なピボットに設定します。

• G に長さ k の最長パスがある場合、G' の「改善された最長パス」は、エッジ ロードが k に等しい同様の最長パスになります。

• G に長さ k の最長パスがない場合、この時点でエッジ ロードが k に等しいパスは G' に存在しません。

• 最長パス問題は NP で完了することが知られているため、この削減により、「単純化された最長パス」の NP の頂点が確立されます。

• どちらのアプローチも、「高レベルの最長パス」が NP 完全であるため、すべての場合にそれを処理できる効率的な計算が存在しないことを概説しており、これは計算の複雑さを示しています。

• ＃＃＃例＃＃＃ リーリー ＃＃＃出力＃＃＃ リーリー ＃＃＃結論は＃＃＃

  最初のアプローチに移行するには、有名なハミルトン法の問題を軽減することが含まれます。ハミルトン道路問題のケースを「高度な最長道路」のケースに変換することで、最後の問題を解決することが、どういうわけか前の問題を解決するのと同じくらい難しいことを示し、その NP の実装について詳しく説明します。

方法 2 は、別の既知の NP 完全問題、最長パス問題、または移動販売員問題 (TSP) から問題を軽減する方法を直接説明します。 「改善された最長経路」をこれらの NP 完全問題に変換する方法を実証することにより、この方法で同様の計算複雑性があり、NP 完全であることを示します。

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