Python の EM アルゴリズムとは何ですか?

Python の EM アルゴリズムは、最尤推定に基づく反復手法であり、教師なし学習のパラメーター推定問題によく使用されます。この記事では、EM アルゴリズムの定義、基本原理、アプリケーション シナリオ、Python 実装について紹介します。

1. EM アルゴリズムの定義

EM アルゴリズムは、Expectation-maximization Algorithm の略称です。これは、観察されたデータに基づいて最尤推定を解くように設計された反復アルゴリズムです。

EM アルゴリズムでは、サンプル データが特定の確率分布に由来すると仮定する必要があり、分布のパラメーターは不明であり、EM アルゴリズムを通じて推定する必要があります。 EM アルゴリズムは、未知のパラメーターが 2 つのカテゴリ (1 つは観測可能な変数、もう 1 つは観測不可能な変数) に分類できると想定しています。反復を通じて、観測不可能な変数の期待値がパラメータの推定値として使用され、収束するまで解が再度解かれます。

2. EM アルゴリズムの基本原理

1. E ステップ (期待)

E ステップでは、電流に基づいて計算する必要があります。パラメータ推定 隠れ変数の確率分布を見つけること、つまり、隠れ変数の期待値である各隠れ変数の条件付き分布を見つけることです。この期待値は、現在のパラメータ推定値に基づいて計算されます。

2. M ステップ (最大化)

M ステップでは、計算された潜在変数の期待値に基づいて現在のパラメータ値を再推定する必要がありますEステップで。この推定値は、ステップ E で計算された潜在変数の期待値に基づいて計算されます。

3. パラメータ値の更新

E ステップと M ステップの繰り返しにより、最終的に一連のパラメータ推定値が取得されます。推定値が収束するとアルゴリズムは終了し、そうでない場合は反復が続行されます。最適なパラメーター推定値が見つかるまで、反復ごとにパラメーター値が最適化されます。

3. EM アルゴリズムの適用シナリオ

EM アルゴリズムは、クラスター分析、モデル選択、隠れマルコフ モデルなどの教師なし学習の分野で広く使用されており、強い堅牢性を備えています。高い柔軟性と反復効率という利点があります。

たとえば、クラスタリング問題では、EM アルゴリズムを混合ガウス モデルのパラメータ推定に使用できます。つまり、観察されたデータ分布は複数のガウス分布の混合モデルとしてモデル化され、サンプルはグループ化されます。各グループ内のデータが同じ確率分布に従うようにします。 EM アルゴリズムでは、E ステップでデータをグループ化し、M ステップでガウス分布のパラメータを更新することで問題を解決します。

さらに、画像処理では、画像のセグメンテーションや画像のノイズ除去などのタスクで EM アルゴリズムがよく使用されます。

4. Python での EM アルゴリズムの実装

Python には、SciPy ライブラリの EM アルゴリズム実装や、 scikit-learn ライブラリ、混合モデル GMM、TensorFlow ライブラリの変分オートエンコーダ VAE など。

以下は、SciPy ライブラリの EM アルゴリズム実装を例に説明します。まず、次のようにこれを Pyhton にインポートする必要があります:

import scipy.stats as st
import numpy as np

次に、混合ガウス モデルの確率密度関数を EM アルゴリズムの最適化目的関数として定義します:

def gmm_pdf(data, weights, means, covs):
    n_samples, n_features = data.shape
    pdf = np.zeros((n_samples,))
    for i in range(len(weights)):
        pdf += weights[i]*st.multivariate_normal.pdf(data, mean=means[i], cov=covs[i])
    return pdf

次に、 EM アルゴリズムの関数を定義します:

def EM(data, n_components, max_iter):
    n_samples, n_features = data.shape
    weights = np.ones((n_components,))/n_components
    means = data[np.random.choice(n_samples, n_components, replace=False)]
    covs = [np.eye(n_features) for _ in range(n_components)]

    for i in range(max_iter):
        # E步骤
        probabilities = np.zeros((n_samples, n_components))
        for j in range(n_components):
            probabilities[:,j] = weights[j]*st.multivariate_normal.pdf(data, mean=means[j], cov=covs[j])
        probabilities = (probabilities.T/probabilities.sum(axis=1)).T

        # M步骤
        weights = probabilities.mean(axis=0)
        means = np.dot(probabilities.T, data)/probabilities.sum(axis=0)[:,np.newaxis]
        for j in range(n_components):
            diff = data - means[j]
            covs[j] = np.dot(probabilities[:,j]*diff.T, diff)/probabilities[:,j].sum()

    return weights, means, covs

最後に、次のコードを使用して EM アルゴリズムをテストできます:

# 生成数据
np.random.seed(1234)
n_samples = 100
x1 = np.random.multivariate_normal([0,0], [[1,0],[0,1]], int(n_samples/2))
x2 = np.random.multivariate_normal([3,5], [[1,0],[0,2]], int(n_samples/2))
data = np.vstack((x1,x2))

# 运行EM算法
weights, means, covs = EM(data, 2, 100)

# 输出结果
print('weights:', weights)
print('means:', means)
print('covs:', covs)

参考文献:

[1] Xu, R . & Wunsch, D. C. (2005). クラスタリング アルゴリズムの調査. IEEE Transactions on Neural Networks, 16(3), 645-678.

[2] Blei, D.M.、Ng, A.Y.、Jordan, M. I. (2003). 潜在ディリクレ割り当て. Journal of Machine Learning Research, 3(4-5), 993-1022.

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