Python でロジスティック回帰を解くために勾配降下法を実装する方法

線形回帰

1. 線形回帰関数

尤度関数の定義: 指定された結合サンプル値X (不明な) パラメータに関する次の関数

##尤度関数: このようなパラメータは正確には何ですかデータと組み合わせたときの真の値

2. 線形回帰尤度関数

対数尤度:

3. 線形回帰目的関数

(誤差の表現、目的は真の値と予測値の差を最小にすることです)

(導関数を0にして極値を求め、関数のパラメータを求める)

ロジスティック回帰

ロジスティック回帰は線形である 回帰結果はシグモイド関数の層で追加される

#1. ロジスティック回帰関数

#2ロジスティック回帰尤度関数

前提データはベルヌーイ分布に従う

対数尤度:

はじめに

勾配降下法タスク、ロジスティック回帰目的関数に変換

勾配降下法ソリューション

私の理解では、導出を求めてパラメーターを更新し、特定の条件に達したら停止し、近似値を取得します。最適解

コード実装

#シグモイド関数

def sigmoid(z):    
   return 1 / (1 + np.exp(-z))

予測関数

def model(X, theta):    
    return sigmoid(np.dot(X, theta.T))

目的関数

def cost(X, y, theta):    
     left = np.multiply(-y, np.log(model(X, theta)))    
     right = np.multiply(1 - y, np.log(1 - model(X, theta)))    
     return np.sum(left - right) / (len(X))

Gradient

def gradient(X, y, theta):    
  grad = np.zeros(theta.shape)    
  error = (model(X, theta)- y).ravel()    
  for j in range(len(theta.ravel())): #for each parmeter        
     term = np.multiply(error, X[:,j])        
     grad[0, j] = np.sum(term) / len(X)    
   return grad

勾配降下停止戦略

STOP_ITER = 0
STOP_COST = 1
STOP_GRAD = 2
 
def stopCriterion(type, value, threshold):
    # 设定三种不同的停止策略
    if type == STOP_ITER:  # 设定迭代次数
        return value > threshold
    elif type == STOP_COST:  # 根据损失值停止
        return abs(value[-1] - value[-2]) < threshold
    elif type == STOP_GRAD:  # 根据梯度变化停止
        return np.linalg.norm(value) < threshold

サンプルの再シャッフル

import numpy.random
#洗牌
def shuffleData(data):
    np.random.shuffle(data)
    cols = data.shape[1]
    X = data[:, 0:cols-1]
    y = data[:, cols-1:]
    return X, y

勾配降下ソリューション

def descent(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha):
    # 梯度下降求解
 
    init_time = time.time()
    i = 0  # 迭代次数
    k = 0  # batch
    X, y = shuffleData(data)
    grad = np.zeros(theta.shape)  # 计算的梯度
    costs = [cost(X, y, theta)]  # 损失值
 
    while True:
        grad = gradient(X[k:k + batchSize], y[k:k + batchSize], theta)
        k += batchSize  # 取batch数量个数据
        if k >= n:
            k = 0
            X, y = shuffleData(data)  # 重新洗牌
        theta = theta - alpha * grad  # 参数更新
        costs.append(cost(X, y, theta))  # 计算新的损失
        i += 1
 
        if stopType == STOP_ITER:
            value = i
        elif stopType == STOP_COST:
            value = costs
        elif stopType == STOP_GRAD:
            value = grad
        if stopCriterion(stopType, value, thresh): break
 
    return theta, i - 1, costs, grad, time.time() - init_time

完了code

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import os
import numpy.random
import time
 
 
def sigmoid(z):
    return 1 / (1 + np.exp(-z))
 
 
def model(X, theta):
    return sigmoid(np.dot(X, theta.T))
 
 
def cost(X, y, theta):
    left = np.multiply(-y, np.log(model(X, theta)))
    right = np.multiply(1 - y, np.log(1 - model(X, theta)))
    return np.sum(left - right) / (len(X))
 
 
def gradient(X, y, theta):
    grad = np.zeros(theta.shape)
    error = (model(X, theta) - y).ravel()
    for j in range(len(theta.ravel())):  # for each parmeter
        term = np.multiply(error, X[:, j])
        grad[0, j] = np.sum(term) / len(X)
    return grad
 
 
STOP_ITER = 0
STOP_COST = 1
STOP_GRAD = 2
 
 
def stopCriterion(type, value, threshold):
    # 设定三种不同的停止策略
    if type == STOP_ITER:  # 设定迭代次数
        return value > threshold
    elif type == STOP_COST:  # 根据损失值停止
        return abs(value[-1] - value[-2]) < threshold
    elif type == STOP_GRAD:  # 根据梯度变化停止
        return np.linalg.norm(value) < threshold
 
 
# 洗牌
def shuffleData(data):
    np.random.shuffle(data)
    cols = data.shape[1]
    X = data[:, 0:cols - 1]
    y = data[:, cols - 1:]
    return X, y
 
 
def descent(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha):
    # 梯度下降求解
 
    init_time = time.time()
    i = 0  # 迭代次数
    k = 0  # batch
    X, y = shuffleData(data)
    grad = np.zeros(theta.shape)  # 计算的梯度
    costs = [cost(X, y, theta)]  # 损失值
 
    while True:
        grad = gradient(X[k:k + batchSize], y[k:k + batchSize], theta)
        k += batchSize  # 取batch数量个数据
        if k >= n:
            k = 0
            X, y = shuffleData(data)  # 重新洗牌
        theta = theta - alpha * grad  # 参数更新
        costs.append(cost(X, y, theta))  # 计算新的损失
        i += 1
 
        if stopType == STOP_ITER:
            value = i
        elif stopType == STOP_COST:
            value = costs
        elif stopType == STOP_GRAD:
            value = grad
        if stopCriterion(stopType, value, thresh): break
 
    return theta, i - 1, costs, grad, time.time() - init_time
 
 
def runExpe(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha):
    # import pdb
    # pdb.set_trace()
    theta, iter, costs, grad, dur = descent(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha)
    name = "Original" if (data[:, 1] > 2).sum() > 1 else "Scaled"
    name += " data - learning rate: {} - ".format(alpha)
    if batchSize == n:
        strDescType = "Gradient"  # 批量梯度下降
    elif batchSize == 1:
        strDescType = "Stochastic"  # 随机梯度下降
    else:
        strDescType = "Mini-batch ({})".format(batchSize)  # 小批量梯度下降
    name += strDescType + " descent - Stop: "
    if stopType == STOP_ITER:
        strStop = "{} iterations".format(thresh)
    elif stopType == STOP_COST:
        strStop = "costs change < {}".format(thresh)
    else:
        strStop = "gradient norm < {}".format(thresh)
    name += strStop
    print("***{}\nTheta: {} - Iter: {} - Last cost: {:03.2f} - Duration: {:03.2f}s".format(
        name, theta, iter, costs[-1], dur))
    fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 4))
    ax.plot(np.arange(len(costs)), costs, 'r')
    ax.set_xlabel('Iterations')
    ax.set_ylabel('Cost')
    ax.set_title(name.upper() + ' - Error vs. Iteration')
    return theta
 
 
path = 'data' + os.sep + 'LogiReg_data.txt'
pdData = pd.read_csv(path, header=None, names=['Exam 1', 'Exam 2', 'Admitted'])
positive = pdData[pdData['Admitted'] == 1]
negative = pdData[pdData['Admitted'] == 0]
 
# 画图观察样本情况
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 5))
ax.scatter(positive['Exam 1'], positive['Exam 2'], s=30, c='b', marker='o', label='Admitted')
ax.scatter(negative['Exam 1'], negative['Exam 2'], s=30, c='r', marker='x', label='Not Admitted')
ax.legend()
ax.set_xlabel('Exam 1 Score')
ax.set_ylabel('Exam 2 Score')
 
pdData.insert(0, 'Ones', 1)
 
# 划分训练数据与标签
orig_data = pdData.values
cols = orig_data.shape[1]
X = orig_data[:, 0:cols - 1]
y = orig_data[:, cols - 1:cols]
# 设置初始参数0
theta = np.zeros([1, 3])
 
# 选择的梯度下降方法是基于所有样本的
n = 100
runExpe(orig_data, theta, n, STOP_ITER, thresh=5000, alpha=0.000001)
runExpe(orig_data, theta, n, STOP_COST, thresh=0.000001, alpha=0.001)
runExpe(orig_data, theta, n, STOP_GRAD, thresh=0.05, alpha=0.001)
runExpe(orig_data, theta, 1, STOP_ITER, thresh=5000, alpha=0.001)
runExpe(orig_data, theta, 1, STOP_ITER, thresh=15000, alpha=0.000002)
runExpe(orig_data, theta, 16, STOP_ITER, thresh=15000, alpha=0.001)
 
from sklearn import preprocessing as pp
 
# 数据预处理
scaled_data = orig_data.copy()
scaled_data[:, 1:3] = pp.scale(orig_data[:, 1:3])
 
runExpe(scaled_data, theta, n, STOP_ITER, thresh=5000, alpha=0.001)
runExpe(scaled_data, theta, n, STOP_GRAD, thresh=0.02, alpha=0.001)
theta = runExpe(scaled_data, theta, 1, STOP_GRAD, thresh=0.002 / 5, alpha=0.001)
runExpe(scaled_data, theta, 16, STOP_GRAD, thresh=0.002 * 2, alpha=0.001)
 
 
# 设定阈值
def predict(X, theta):
    return [1 if x >= 0.5 else 0 for x in model(X, theta)]
 
 
# 计算精度
scaled_X = scaled_data[:, :3]
y = scaled_data[:, 3]
predictions = predict(scaled_X, theta)
correct = [1 if ((a == 1 and b == 1) or (a == 0 and b == 0)) else 0 for (a, b) in zip(predictions, y)]
accuracy = (sum(map(int, correct)) % len(correct))
print('accuracy = {0}%'.format(accuracy))

ロジスティック回帰の長所と短所

利点

形式はシンプルで、モデルの解釈性は非常に優れています。特徴量の重みから、さまざまな特徴量が最終結果に及ぼす影響を確認できます。特定の特徴量の重み値が比較的高い場合、この特徴量は最終結果に大きな影響を与えます。
モデルはうまく機能します。 (ベースラインとして) エンジニアリングでは許容されます。特徴量エンジニアリングが適切に行われていれば、その効果はそれほど悪くはなく、特徴量エンジニアリングを並行して開発できるため、開発のスピードが大幅に向上します。
トレーニング速度が速くなります。分類する場合、計算量は特徴の数にのみ関係します。さらに、ロジスティック回帰の分散最適化 sgd は比較的成熟しており、ヒープ マシンによってトレーニング速度をさらに向上させることができるため、短期間でモデルの複数のバージョンを反復することができます。
リソース、特にメモリをほとんど消費しません。各次元の特徴量のみを保存する必要があるためです。
出力結果を便利に調整します。ロジスティック回帰では、出力が各サンプルの確率スコアであるため、最終的な分類結果を簡単に得ることができます。また、これらの確率スコアを簡単に切り捨てる、つまり、しきい値を分割することができます（あるしきい値を超えるものは 1 つのカテゴリに分類され、一定の閾値未満のものを 1 つのカテゴリに分類します。一定の閾値を 1 つのカテゴリとします）。
デメリット

精度はあまり高くありません。形式が非常に単純であるため (線形モデルに非常に似ている)、データの真の分布を当てはめるのは困難です。

• データの不均衡の問題に対処するのは困難です。例: 正と負のサンプルの比率が 10000:1 であるなど、正と負のサンプルが非常にアンバランスである問題を扱う場合、すべてのサンプルを正であると予測する場合、損失関数の値を作成することもできます。より小さい。しかし、分類器としては、陽性サンプルと陰性サンプルを区別する能力はあまり良くありません。

• 非線形データの処理はさらに面倒です。ロジスティック回帰は、他の手法を導入しないと、線形分離可能なデータのみを処理でき、さらには二項分類問題も処理できます。

• ロジスティック回帰自体は特徴を​​フィルタリングできません。場合によっては、gbdt を使用して特徴をフィルタリングし、ロジスティック回帰を使用します。

以上がPython でロジスティック回帰を解くために勾配降下法を実装する方法の詳細内容です。詳細については、PHP 中国語 Web サイトの他の関連記事を参照してください。