Pythonを使用してハルバート変換を実装するにはどうすればよいですか?

1. ヒルベルト変換とは何ですか?

ヒルベルト変換は当初、周期関数 (円周上の関数) に対してのみ定義されていましたが、この場合はヒルベルト変換と同じです。特別なカーネル畳み込み。ただし、より一般的には、実直線 R (上半平面の境界) 上で定義された関数の場合、ヒルベルト変換はコーシー カーネルで畳み込まれます。ヒルベルト変換は、上半平面の正則関数と実数直線上の関数のフーリエ変換を結びつける別の手法であるパー​​リー・ウィーナー定理と密接に関係しています。

2. VC での実装原理とコード例

ヒルベルト変換は、高速フーリエ変換 (FFT) を通じて VC に実装できます。

以下は、ヒルベルト変換を実装するための簡単な C コードです。これには、C 11 以降の標準ライブラリを使用する必要があります。まず FFT 関数を実装し、次に FFT 関数を使用してヒルベルト変換を実装する必要があります。

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <complex>
#include <vector>

using namespace std;

typedef complex<double> Complex;
typedef vector<Complex> ComplexVector;

// 快速傅里叶变换
void fft(ComplexVector& data) {
    int n = data.size();
    if (n <= 1) {
        return;
    }

    // 分离偶数项和奇数项
    ComplexVector even(n/2), odd(n/2);
    for (int i = 0; i < n; i += 2) {
        even[i/2] = data[i];
        odd[i/2] = data[i+1];
    }

    // 递归计算偶数项和奇数项的FFT
    fft(even);
    fft(odd);

    // 计算每个k点的DFT
    for (int k = 0; k < n/2; k++) {
        Complex t = polar(1.0, -2 * M_PI * k / n) * odd[k];
        data[k] = even[k] + t;
        data[k+n/2] = even[k] - t;
    }
}


// 希尔伯特变换
void hilbertTransform(ComplexVector& signal) {
    int n = signal.size();

    // 扩展信号长度至2的幂次方
    int n2 = 1;
    while (n2 < n) {
        n2 *= 2;
    }
    signal.resize(n2);

    // 进行FFT变换
    fft(signal);

    // 对FFT结果进行处理
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        signal[i] *= 2;
    }
    for (int i = n; i < n2; i++) {
        signal[i] = 0;
    }
    signal[0] = 1;
    signal[n] = 0;

    // 反向FFT变换
    fft(signal);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        signal[i] = signal[i].imag() / n;
    }
}

int main() {
    ComplexVector signal = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
    hilbertTransform(signal);

    // 输出结果
    for (int i = 0; i < signal.size(); i++) {
        cout << signal[i] << " ";
    }
    cout << endl;

    return 0;
}

上記のコードでは、まず高速フーリエ変換関数 fft を実装し、次に FFT を使用して、hilbertTransform 関数でヒルベルト変換を計算します。ヒルベルト変換の計算プロセスでは、最初に信号の長さを拡張し、次に FFT 変換を実行し、次に FFT 結果をヒルベルト変換の公式に従って処理し、最後に逆 FFT 変換を実行して最終的なヒルベルト変換を取得しました。変換結果。

上記のコードでは、信号と FFT 結果を簡単に処理するために、複素数型 complex とベクトル型 Vector を使用しています。実際のアプリケーションでは、ファイルから入力信号を読み取るか、リアルタイムで収集されたデータから入力信号を取得し、関数 hilbertTransform を呼び出してヒルベルト変換を実行して、変換された信号を取得します。

3. Python コードを使用して実装する

ヒルベルト変換は、Python を使用して簡単に実装することもできます。以下は、numpy ライブラリを使用してヒルベルト変換を実装するサンプル コードです。

import numpy as np

def hilbert_transform(signal):
    """
    计算希尔伯特变换
    """
    n = len(signal)

    # 扩展信号长度至2的幂次方
    n2 = 1
    while n2 < n:
        n2 *= 2
    signal = np.append(signal, np.zeros(n2 - n))

    # 进行FFT变换
    spectrum = np.fft.fft(signal)

    # 对FFT结果进行处理
    spectrum[1:n] *= 2
    spectrum[n:] = 0
    spectrum[0] = 1
    spectrum[n] = 0

    # 反向FFT变换
    hilbert = np.real(np.fft.ifft(spectrum))
    hilbert = hilbert[:n]

    return hilbert

if __name__ == "__main__":
    signal = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
    hilbert = hilbert_transform(signal)

    # 输出结果
    print(hilbert)

上記のコードでは、まず入力信号を 2 のべき乗の長さに拡張してから、numpy.fft を使用します。 fft 関数。FFT 変換し、FFT 結果を処理し、最後に numpy.fft.ifft 関数を使用して逆 FFT 変換を実行し、ヒルベルト変換結果を取得します。

numpy.fft.fft 関数によって返される結果は、FFT 変換の周波数に従って小さいものから大きいものへと並べられており、ヒルベルト変換は時間領域で実行されるため、正しいヒルベルト変換結果を得るには、FFT 結果の特定の処理が必要です。上記のコードでは、FFT 結果に対して、非ゼロ周波数部分の振幅を 2 ​​倍する、非ゼロ周波数部分の外側の周波数をゼロに設定する、および周波数の値を変更するなどの一連の処理を実行します。それぞれ DC 成分とナイキスト周波数成分。正しいヒルベルト変換結果を取得するには、1 と 0 に設定します。

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