Javaでのunion-findの分析例

1. 概要

Union-find: 結合されていないセットのマージやクエリの問題を解決するために使用されるツリー データ構造。例: n 個の村があり、2 つの村を接続する 2 つの村の間に接続道路があるかどうかをクエリします。

2 つのコア:

検索: 要素が配置されているセットを検索します

マージ (ユニオン): 2 つの要素のセットを 1 つのセットにマージします

##2. 実装

##2 つの一般的な実装アイデアがあります

#クイック検索

時間計算量の計算: O(1)

• 和集合時間計算量: O(n)

• Quick Union

Find の時間計算量: O(logn) O(a(n))a(n)

に最適化可能

マージの時間計算量 (Union): O(logn) は O(a(n) )) a(n)

配列を使用して次のように最適化できます。ツリー構造を実装します。配列の添え字が要素で、配列に格納されている値が親ノードの値です

抽象クラスの作成 Union Find

public abstract class UnionFind {
 
	 int[] parents;
	/**
	 * 初始化并查集
	 * @param capacity
	 */
	public UnionFind(int capacity){
		
		if(capacity < 0) {
			throw new IllegalArgumentException("capacity must be >=0");
		}
        //初始时每一个元素父节点（根结点）是自己
		parents = new int[capacity];
		for(int i = 0; i < parents.length;i++) {
			parents[i] = i;
		}
	}
	
   /**
     *  检查v1 v2 是否属于同一个集合
     */
	public boolean isSame(int v1,int v2) {
		return find(v1) == find(v2);
	}
 
    /**
     *  查找v所属的集合 （根节点）
     */
	public  abstract int find(int v);
 
	/**
     *  合并v1 v2 所属的集合
     */
	public abstract void union(int v1, int v2);
	
		
	// 范围检查
	public   void rangeCheck(int v)  {
		if(v<0 || v > parents.length)
			throw new IllegalArgumentException("v is out of capacity");
	}
}

2.1 クイック検索の実装

クイック検索を使用してユニオン検索を実装すると、ツリーの最大高さは 2 になり、各ノードの高さは になります。親ノードはルート ノードです。

public class UnionFind_QF extends UnionFind {
	public UnionFind_QF(int capacity) {
		super(capacity);
		
	}
 
  // 查
@Override
	public  int  find(int v) {
		rangeCheck(v);
		return parents[v];
	}
 
 // 并 将v1所在集合并到v2所在集合上
@Override
public void union(int v1, int v2) {
    // 查找v1 v2 的父（根）节点
	int p1= find(v1);
	int p2 = find(v2);
	if(p1 == p2) return;
  
    //将所有以v1的根节点为根节点的元素全部并到v2所在集合上 即父节点改为v2的父节点
	for(int i = 0; i< parents.length; i++) {
		if(parents[i] == p1) {
			parents[i] = p2;
		}
	}
	
  }
}

2.2 迅速なユニオンの実装

public class UnionFind_QU extends UnionFind {
 
	public UnionFind_QU(int capacity) {
		super(capacity);
		
	}
 
	//查某一个元素的根节点
	@Override
	public int find(int v) {
   //检查下标是否越界
		rangeCheck(v);
   
  // 一直循环查找节点的根节点
		while (v != parents[v]) {
			v = parents[v];
		}
		return v;
	}
 
//V1 并到 v2 中
	@Override
	public void union(int v1, int v2) {
	
		int p1 = find(v1);
		int p2 = find(v2);
		if(p1 == p2) return;
      //将v1 根节点 的 父节点 修改为 v2的根结点 完成合并
		parents[p1] = p2;
	}
}

3. 最適化

ユニオン検索は高速ユニオンによって実装されることが多いですが、高速です。ユニオンはツリーの不均衡を引き起こすことがあります。

最適化のアイデアには 2 つあります: ランクの最適化とサイズの最適化

3.1 サイズベースの最適化

コアアイデア: 少数の要素を含むツリーが多数の要素を含むツリーに接ぎ木される

public class UniondFind_QU_S extends UnionFind{
 
   // 创建sizes 数组记录 以元素（下标）为根结点的元素（节点）个数
	private int[] sizes;
 
	public UniondFind_QU_S(int capacity) {
		super(capacity);
 
		sizes = new int[capacity];
 
   //初始都为 1
		for(int i = 0;i < sizes.length;i++) {
			sizes[i] = 1;
			}
		
	}
 
	@Override
	public int find(int v) {
 
		rangeCheck(v);
 
		while (v != parents[v]) {
			v = parents[v];
		}
		return v;
	}
 
	@Override
	public void union(int v1, int v2) {
	
		int p1 = find(v1);
		int p2 = find(v2);
		if(p1 == p2) return;
 
		//如果以p1为根结点的元素个数 小于 以p2为根结点的元素个数 p1并到p2上，并且更新p2为根结点的元素个数
	if(sizes[p1] < sizes[p2]) {
		    parents[p1] = p2;
		    sizes[p2] += sizes[p1];
		
 // 反之 则p2 并到 p1 上，更新p1为根结点的元素个数
	}else {
			parents[p2] = p1;
			sizes[p1] += sizes[p2];
		}
	}
}

サイズベースの最適化はツリーの不均衡にもつながる可能性がある

3.2 ランクの最適化に基づく

コアアイデア: 背の低い木を高い木に接ぎ木する

public class UnionFind_QU_R extends UnionFind_QU {
   // 创建rank数组  ranks[i] 代表以i为根节点的树的高度
 private int[] ranks;
 
	public UnionFind_QU_R(int capacity) {
		super(capacity);
 
		ranks = new int[capacity];
 
		for(int i = 0;i < ranks.length;i++) {
			ranks[i] = 1;
		}
 
	}
    
	public void union(int v1, int v2) {
 
		int p1 = find(v1);
		int p2 = find(v2);
		if(p1 == p2) return;
    
    // p1 并到 p2 上 p2为根 树的高度不变
		if(ranks[p1] < ranks[p2]) {
			parents[p1] = p2;
			
  // p2 并到 p1 上 p1为根 树的高度不变
		} else if(ranks[p1] > ranks[p2]) {
			parents[p2] = p1;
 
		}else {
    // 高度相同 p1 并到 p2上，p2为根 树的高度+1
			parents[p1] = p2;
			ranks[p2] += 1;
		}
	}
}

ランクの最適化に基づいて、ユニオンの数が増加するにつれて、ツリーの高さはますます高くなり、結果として動作が遅くなります

最適化を続けるには、パスの圧縮、パスの分割、およびパスの半分化という 3 つのアイデアがあります。

3.2.1 パスの圧縮 (パスの圧縮)

すべてのノードを検索するときに使用します。ルート ノードへのパスがポイントされるため、ツリーの高さが減ります。

/**
 *  Quick Union -基于rank的优化  -路径压缩
 *
 */
public class UnionFind_QU_R_PC extends UnionFind_QU_R {
 
	public UnionFind_QU_R_PC(int capacity) {
		super(capacity);
		
	}
 
	@Override
	public int find(int v) {
		rangeCheck(v);
 
		if(parents[v] != v) {
 
        //递归 使得从当前v 到根节点 之间的 所有节点的 父节点都改为根节点
			parents[v] = find(parents[v]);
		}
		return parents[v];
	}
}

ツリーの高さは減らすことができますが、実装コストが若干高くなります

3.2 .2 パスの分割

パス上のすべてのノードがその親ノードを指すようにします

/**
 *  Quick Union -基于rank的优化  -路径分裂
 *
 */
public class UnionFind_QU_R_PS extends UnionFind_QU_R {
 
	public UnionFind_QU_R_PS(int capacity) {
		super(capacity);
		
	}
 
	@Override
	public int find(int v) {
		rangeCheck(v);
		while(v != parents[v]) {
 
			int p = parents[v];
			parents[v] = parents[parents[v]];
			v = p;
		}
		return v;
	}
}

3.2.3 パスを半分にします (パスの半分化)

パス上の他のすべてのノードがその親ノードを指すようにします。

/**
 *  Quick Union -基于rank的优化  -路径减半
 *
 */
public class UnionFind_QU_R_PH extends UnionFind_QU_R {
 
	public UnionFind_QU_R_PH(int capacity) {
		super(capacity);
		
	}
	
	
    public int find(int v) {
    	rangeCheck(v);
 
		while(v != parents[v]) {
			parents[v] = parents[parents[v]];
			v = parents[v];
		}
		return v;
	}	 
 }

クイック ユニオンを使用して、ランクに基づいてパスの分割またはパスの半分化を最適化します

各操作の償却時間計算量が O(a(n)), a(n) であることが保証できます。

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