C言語による最小スパニングツリーの実装

#1. 最小スパニング ツリーの概要

最小スパニング ツリーとは何ですか?

最小スパニング ツリー (最小スパニング ツリー、MST) は、指定された無向グラフ G(V,E) 内でツリー T を見つけ、このツリーがグラフ G 内のすべての頂点と、すべての頂点をもつようにします。エッジはグラフ G のエッジからのものであり、ツリー全体のエッジの重みの最小合計を満たします。

2.prim アルゴリズム

は、ダイクストラのアルゴリズムに非常によく似ています。 ！次の Gif 図を見てください。プリム アルゴリズムの中心となるアイデアは、グラフ G (V, E) に集合 S を設定し、訪問した頂点を保存し、その頂点から最短距離が最小の頂点を選択することです。集合 S は、集合 V-S (u で示されます) から毎回アクセスし、集合 S に参加します。次に、頂点 u を中点とし、u から到達できるすべての頂点 v と集合 s との最短距離を最適化します。この操作は、セット s にすべての頂点が含まれるまで n 回実行されます。

違いは、ダイクストラのアルゴリズムの dist はソース点 s から頂点 w までの最短パスであるのに対し、プリムのアルゴリズムの dist は集合 S から頂点 w までの最短パスであることです。 , 以下は、それらの疑似コードの説明の比較です。ダイクストラ アルゴリズムの詳細な説明については、記事

アルゴリズムの実装:

#include<iostream>
#include<vector>
#define INF 100000
#define MaxVertex 105
typedef int Vertex; 
int G[MaxVertex][MaxVertex];
int parent[MaxVertex];   // 并查集 
int dist[MaxVertex]; // 距离 
int Nv;    // 结点 
int Ne;    // 边 
int sum;  // 权重和 
using namespace std; 
vector<Vertex> MST;  // 最小生成树 
// 初始化图信息 
void build(){
    Vertex v1,v2;
    int w;
    cin>>Nv>>Ne;
    for(int i=1;i<=Nv;i++){
        for(int j=1;j<=Nv;j++)
            G[i][j] = 0;  // 初始化图 
        dist[i] = INF;   // 初始化距离
        parent[i] = -1;  // 初始化并查集 
    }
    // 初始化点
    for(int i=0;i<Ne;i++){
        cin>>v1>>v2>>w;
        G[v1][v2] = w;
        G[v2][v1] = w;
    }
}
// Prim算法前的初始化 
void IniPrim(Vertex s){
    dist[s] = 0;
    MST.push_back(s);
    for(Vertex i =1;i<=Nv;i++)
        if(G[s][i]){
            dist[i] = G[s][i];
            parent[i] = s;
        } 
}
// 查找未收录中dist最小的点 
Vertex FindMin(){
    int min = INF;
    Vertex xb = -1;
    for(Vertex i=1;i<=Nv;i++)
        if(dist[i] && dist[i] < min){ 
            min = dist[i];
            xb = i;
        }
    return xb;
}
void output(){
    cout<<"被收录顺序："<<endl; 
    for(Vertex i=1;i<=Nv;i++)
        cout<<MST[i]<<" ";
    cout<<"权重和为："<<sum<<endl; 
    cout<<"该生成树为："<<endl; 
    for(Vertex i=1;i<=Nv;i++)
        cout<<parent[i]<<" ";
}
void Prim(Vertex s){
    IniPrim(s);
    while(1){
        Vertex v = FindMin();
        if(v == -1)
            break;
        sum += dist[v];
        dist[v] = 0;
        MST.push_back(v);
        for(Vertex w=1;w<=Nv;w++)
            if(G[v][w] && dist[w])
                if(G[v][w] < dist[w]){
                    dist[w] = G[v][w];
                    parent[w] = v;
                }
    }
}
int main(){
    build();
    Prim(1);
    output();
    return 0;
}

を参照してください。プリム アルゴリズムについて より詳しい説明については、ビデオ https://www.bilibili.com/video/av55114968?p=99

3.kruskal アルゴリズム ## を参照してください。 #Kruskal アルゴリズムも使用可能 最小スパニング ツリーの問題を解決するために、そのアルゴリズムのアイデアは理解しやすいです 典型的なエッジ グリーディ、そのアルゴリズムのアイデアは次のとおりです:

#● グラフ内のすべてのエッジを非表示にします初期状態。グラフ内の各頂点は 1 つの接続されたブロックであり、合計で n 個の接続されたブロックがあります。

#● すべてのエッジをエッジの重みに従って小さいものから大きいものまで並べ替えます。

● 小さいものから大きいものまでエッジの重みに従ってすべてのエッジをテストします。現在のテスト エッジによって接続されている 2 つの頂点が同じ接続されたブロック内にない場合、テスト エッジは現在の最小スパニング ツリーに追加されます。それ以外の場合、エッジは追加されます。捨てられた。

# 最小スパニング ツリー内のエッジの数が頂点の合計数から 1 を引いた値に等しくなるまで、またはすべてのエッジがテストされたときに終了するまで、前の手順を繰り返します。最後に終了した場合は、そのエッジの数がテストされます。最小スパニング ツリーは頂点の総数から 1 を引いた値より小さく、グラフが接続されていないことを示します。

下のGIFをご覧ください。

アルゴリズムの実装:

#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
#include<queue>
#define INF 100000
#define MaxVertex 105
typedef int Vertex; 
int G[MaxVertex][MaxVertex];
int parent[MaxVertex];   // 并查集最小生成树 
int Nv;    // 结点 
int Ne;    // 边 
int sum;  // 权重和 
using namespace std; 
struct Node{
    Vertex v1;
    Vertex v2;
    int weight; // 权重 
    // 重载运算符成最大堆 
    bool operator < (const Node &a) const
    {
        return weight>a.weight;
    }
};
vector<Node> MST;  // 最小生成树 
priority_queue<Node> q;   // 最小堆 
// 初始化图信息 
void build(){
    Vertex v1,v2;
    int w;
    cin>>Nv>>Ne;
    for(int i=1;i<=Nv;i++){
        for(int j=1;j<=Nv;j++)
            G[i][j] = 0;  // 初始化图
        parent[i] = -1;
    }
    // 初始化点
    for(int i=0;i<Ne;i++){
        cin>>v1>>v2>>w;
        struct Node tmpE;
        tmpE.v1 = v1;
        tmpE.v2 = v2;
        tmpE.weight = w;
        q.push(tmpE); 
    }
}
//  路径压缩查找 
int Find(int x){
    if(parent[x] < 0)
        return x;
    else
        return parent[x] = Find(parent[x]);
} 
//  按秩归并 
void Union(int x1,int x2){
    if(parent[x1] < parent[x2]){
        parent[x1] += parent[x2];
        parent[x2] = x1;
    }else{
        parent[x2] += parent[x1];
        parent[x1] = x2;
    }
} 
void Kruskal(){
    // 最小生成树的边不到 Nv-1 条且还有边 
    while(MST.size()!= Nv-1 && !q.empty()){
        Node E = q.top();  // 从最小堆取出一条权重最小的边
        q.pop(); // 出队这条边 
        if(Find(E.v1) != Find(E.v2)){  // 检测两条边是否在同一集合 
            sum += E.weight; 
            Union(E.v1,E.v2);     // 并起来 
            MST.push_back(E);
        }
    }
    
} 
void output(){
    cout<<"被收录顺序："<<endl; 
    for(Vertex i=0;i<Nv;i++)
        cout<<MST[i].weight<<" ";
    cout<<"权重和为："<<sum<<endl; 
    for(Vertex i=1;i<=Nv;i++)
        cout<<parent[i]<<" ";
    cout<<endl;
}
int main(){
    build();
    Kruskal();
    output();
    return 0;
}

kruskal アルゴリズムの詳細については、ビデオ https://www.bilibili.com/ を参照してください。 video/av55114968?p =100

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