曲線積分変数置換：$ \ int_0^1 \ frac {y^2} {\ sqrt {1-y^2}} dy $を$ \ int_0^{\ frac {\ pi} {2}} \ sin^2tdt $に変換する方法

曲線積分変数置換の詳細な説明：定性的積分を簡素化する

この記事では、固定積分$ \ int_0^1 \ frac {y^2} {\ sqrt {1-y^2}} dy $を$ \ int_0^{\ frac {\ pi} {2}} \ sin^2tdt $ by Variable replicatementに詳細に説明する方法について説明します。多くの学生は、そのようなポイントに対処する際に困難に遭遇します。

これは極座標変換ではありませんが、単純な可変交換方法を解決できます。重要なのは、適切な交換変数を選択することです。

問題解決手順：

変数$ y = \ sin（t）$を置き換えることを選択します。元の積分間隔は$ 0 \ le y \ le 1 $であるため、対応する$ t $間隔は$ 0 \ le t \ le \ frac {\ pi} {2} $です。この間隔では、$ \ sin（t）$と$ \ cos（t）$の両方が非陰性です。

1. 変数を置き換えます：代用$ y = \ sin（t）$を元の積分式に置き換えます：$ \ int_0^1 \ frac {y^2} {\ sqrt {1-y^2}} dy $

2. 交換ポイント制限： $ y = 0 $、$ t = 0 $; $ y = 1 $、$ t = \ frac {\ pi} {2} $。

3. 微分： $ y = \ sin（t）$ for $ dy = \ cos（t）dt $を取得する

4. 積分式を代用してください： $ y = \ sin（t）$ and $ dy = \ cos（t）dt $を元の積分式に置き換えます。

   $ \ int_0^{\ frac {\ pi} {2}} \ frac {\ sin^2t} {\ sqrt {1- \ sin^2t}} \ cos（t）dt $

5. 簡素化： $ 1 -\ sin^2t = \ cos^2t $以降、および間隔で$ 0 \ le t \ le \ frac {\ pi} {2} $$$、$ \ cos（t）\ ge 0 $、so $ \ sqrt {1- \ sin^2t}} = \ sqrt {cos^2t} = \ cos^2t}代替後、積分式は次のようになります。

   $ \ int_0^{\ frac {\ pi} {2}} \ frac {\ sin^2t} {\ cos（t）} \ cos（t）dt $

6. 最終結果：単純化後、私たちは取得します：

   $ \ int_0^{\ frac {\ pi} {2}} \ sin^2t dt $

この巧妙な可変交換を通じて、複雑な積分をより簡単に計算できるフォームに簡単に簡素化しました。適切な交換変数を選択し、統合制限と差分用語を正しく処理することが問題を解決するための鍵であることを忘れないでください。

以上が曲線積分変数置換：$ \ int_0^1 \ frac {y^2} {\ sqrt {1-y^2}} dy $を$ \ int_0^{\ frac {\ pi} {2}} \ sin^2tdt $に変換する方法の詳細内容です。詳細については、PHP 中国語 Web サイトの他の関連記事を参照してください。