配列に浮動小数点を追加するときに最大の精度を達成するにはどうすればよいでしょうか?

浮動小数点数の追加: 最大精度の達成

浮動小数点演算の領域では、数値が累積される順序が結果の精度に大きな影響を与える可能性があります。この質問では、数値誤差を最小限に抑えるために浮動小数点数の配列を追加するための最適なアプローチを検討します。

数値を累積する前に数値を昇順に並べ替えることは、多くの場合効果的な戦略です。このアプローチでは、同様の大きさの値をグループ化することで、小さな値が合計に有意に寄与する可能性が高くなります。対照的に、数値を降順に合計すると、精度の制限により小さい値が事実上破棄される状況が発生する可能性があります。

たとえば、10 億個の 1 / (10 億) の値と 1 つの値 1 を加算することを検討してください。単精度で。最初に 1 を加算すると、小さな値の精度が失われるため、合計は実質的に 1 になります。数値を並べ替えて昇順に加算すると、小さな値がある程度蓄積され、大きな値との差が小さくなります。

ただし、並べ替えだけではすべてのケースで十分ではない可能性があります。たとえば、1、-1、および 10 億分の 3 つの値があるとします。正しい合計は 10 億分の 1 ですが、加算の順序は結果に大きな影響を与える可能性があります。 2 つの次数 ({1, -1, 10 億番目} と {-1, 1, 10 億番目}) だけが正確な合計を生成します。

複雑なケースに対処するために、追加の手法を使用できます。 1 つのアプローチには、異なる大きさで複数の累計を作成することが含まれます。新しい値はそれぞれ、その大きさに最もよく一致する合計に追加されます。現在の合計が特定のしきい値を超えると、次に大きい合計に加算されます。これは、任意精度型の動作を効果的に模倣しますが、浮動小数点数演算の制約内で行われます。

最適な加算順序は難解に見えるかもしれませんが、実際のプログラミングでは実用的な意味を持ちます。特に多数の小さな値を処理する場合や、値の大きさの間に大きな差が存在する場合など、正確な加算が重要な場合があります。ほとんどの状況において、数値を昇順に並べ替えることは、精度を高めるための適切な戦略です。

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