リーマン予想の大きな進歩!陶哲軒氏はMITとオックスフォードの新しい論文を強く推薦し、37歳のフィールズ賞受賞者も参加した

最近、ミレニアムの七大問題の一つとして知られるリーマン予想が新たな突破口を迎えました。

リーマン予想は数学における非常に重要な未解決の問題であり、素数の分布の正確な性質に関連しています (素数は 1 とそれ自体でしか割りることができない数であり、素数は次の点で基本的な役割を果たします)数論の役割）。

今日の数学文献には、リーマン予想 (またはその一般化された形式) の確立に基づいた数学的命題が 1,000 を超えています。言い換えれば、リーマン予想とその一般化された形式が証明されれば、これらの 1,000 を超える命題が定理として確立され、数学の分野に重大な影響を与えることになります。これらの命題の一部も有効性を失います。

新たな進歩は、MIT数学教授ラリー・ガスとオックスフォード大学数学研究所教授でフィールズ賞受賞者のジェームス・メイナードによる論文から生まれました。この論文を推薦した数学者のテレンス・タオ氏は、これらの論文は、リーマンのゼータ関数の零点に拘束された古典的な 1940 年のインガム (より一般的には、さまざまなディリクレ級数の大きな値の制御) に初めて実質的な改善をもたらしたと述べました。 80 年以上前に誕生したインガム限界は、これまで改善がなかったため、数学者が解析的数論で多くのことを行うことを制限していました。

しかし、陶哲軒氏は、これは重要な進歩ではあるが、リーマン予想の完全な解決にはまだ程遠いので、合理的に見るべきだとも述べました。

リーマン予想とは何ですか?

リーマン予想またはリーマン予想は、1859年にドイツの数学者ベルンハルト・リーマンによって提案されました。この予想は素数の分布と密接に関連しており、その中心的な内容にはリーマン ゼータ関数の非自明なゼロが含まれます。 Bernhard Riemann、出典：facts.net/

リーマン仮説の内容は、完全な基本的な数学では説明できません。ざっくり言うと、リーマンゼータ関数と呼ばれる複素変数関数（つまり、変数も関数値も複素領域の値をとり得る関数）の予想です。リーマン ゼータ関数は、他の多くの関数と同様に、いくつかの点で値がゼロになります。これらの点は、リーマン ゼータ関数のゼロ点と呼ばれます。これらのゼロの中には、リーマン ゼータ関数と呼ばれる特に重要な重要なゼロがいくつかあります。リーマン仮説が推測していることは、すべての非自明なゼロ点は「臨界線」と呼ばれる特別な直線上に分布しているということです（人気サイエンスライターのルー・チャンハイ氏のブログより引用）。

リーマン ξ 関数は次のように定義されます:

リーマン仮説では、ξ 関数のすべての非自明なゼロの実部は 1/2 であると考えられます。これは、ζ(s)=0 で s が自明ではないゼロ (つまり、s が負の偶数ではない) の場合、s の実数部は 1/2 である必要があることを意味します。

リーマン予想は、今日世界で最も重要かつ最も期待されている数学的問題です。この予想が正しければ、自然数間の素数の分布を正確に記述することができ、数論、複素解析、その他の数学分野を解く際に幅広い応用と影響を与えることになります。

リーマン予想が提唱されてからこれまでに165年が経過しました。リーマン予想を証明しようとする研究は数多く行われてきましたが、どれも無駄に終わりました。

リーマン予想を解く試み

リーマン予想が提案されて以来、多くの数学者が証明を探求する旅を始めました。

1896 年、フランスの数学者ジャック アダマールとシャルル ジャン ド ラ ヴァレ プッサンは、直線上にゼロ点が存在しないことを独自に証明しました。リーマンが非自明なゼロに関して証明した他の特性と合わせて、これはすべての非自明なゼロが領域上に存在する必要があることを示しています。これは、素数定理の最初の完全な証明における重要なステップです。 1900 年、ドイツの数学者であり現代数学の父の一人であるデイヴィッド・ヒルベルトは、有名な 23 の質問にリーマン予想を含め、ゴールドバッハの仮説と合わせてヒルベルトのリスト第 8 問を作成しました。同時に、リーマン予想は、クレイ数学研究所のミレニアム賞に含まれる唯一のヒルベルト問題でもあります。

1914年、英国の数学者ゴッドフリー・ハロルド・ハーディは、直線上に無限のゼロ点が存在することを証明しました。その後、1921 年にハーディとイギリスの数学者ジョン アンサー リトルウッド、1942 年にセルバーグの研究 (臨界線定理) は、臨界線 上のゼロ点の平均密度を計算することでした。

近年まで、リーマン予想を証明する試みはしばしば物議を醸していました。

2018年9月、ハイデルベルクでの前例のない演説が数学界に衝撃を与えました、89歳のアティヤ卿のリーマン予想の証明は世界的な注目を集めました。スポットライトを浴びながら、アティヤ卿は 45 分を費やして、150 年以上の歴史を持つこの数学的予想の証明を世界に発表しました。

しかし、アティヤ卿の証明は PPT の次のページだけです。そのような証明は説得力がないと思われます。リーマン予想を解決したかどうか尋ねられたとき、彼はこう答えた、「それはあなたの論理次第です。あなたが矛盾による証明を受け入れない種類の数学者でない限り、私は元のリーマン予想を証明しました。」 彼はまた、自分の証明を付け加えた。すべての問題を解決したわけではありませんし、今後も多くの問題が生じるでしょう。彼は最初の一歩を踏み出しただけです（最初の一歩が解決策です）。

残念なことに、アティヤ卿は 2019 年 1 月に亡くなりました。

さて、リーマン予想に異議を唱えた人がいます。

ガスとメイナードがしたこと

ガスとメイナードの新たな進歩について、有名な数学者テレサ・タオは次のようにコメントしました。数学の問題はまだ長い道のりです。」

論文リンク: https://arxiv.org/pdf/2405.20552

この研究が初めてであることを Tao Zhexuan のツイートから知りました。数学者のアルバート・インガムは、リーマンのゼータ関数の古典的な限界 (より一般的には、さまざまなディリクレ級数を支配する大きな値) において、1940 年頃に大幅な改善が行われました。

1940 年、数学者のアルバート インガムは、これらのゼロ点を記述する境界を提案しました。これは、当時の理論研究の基礎を形成しました。しかし、ガスとメイナードの研究まで、この境界はほとんど洗練されていませんでした。ガスとメイナードの研究は、インガムのこの限界を改善しただけでなく、彼らの方法は、多くの数論や解析問題において重要なディリクレ級数の大きな値を扱うための新しいツールと視点を提供しました。

この論文は、ディリクレ多項式の大きな値の頻度に関する新しい限界を証明します。これにより、長さ N のディリクレ多項式の推定値が改善され、 に近い値が得られます。さらに、この研究では、ゼロ点密度推定 と、長さの短い間隔 にわたる素数の漸近式を導出しています。

Tao Zhexuan 自身がこの研究について数学的な観点からいくつかの説明をしました。 ?(σ,?) がリーマン ζ 関数のゼロの数を表すものとします。ここで、実数部は少なくとも σ、虚数部は最大 T です。リーマン予想は、σ>1/2 であれば N (σ,?) が消滅することを示していますが、この仮説はまだ証明できません。しかし、次善の選択肢として、数学者は ?(σ,?) の自明ではない上限であるゼロ点密度推定を証明できます。

σ=3/4が重要な値であることが分かりました。 1940 年に、インガムは結合 ?(3/4,?)≪?(3/5+?(1)) を導き出しました。

その後 80 年間にわたり、この境界に対する改善は、?(1) エラーのわずかな改良にすぎませんでした。このため、研究者は解析的数論でより詳細な研究を行うことが制限されています。たとえば、形式 (?,?+?^?) のほぼすべての短い区間で優れた素数定理を取得するために、人々は長い間制限されてきました。 ?>1/6 範囲までの場合、主な障害は、インガム境界が改善されていないことです。

ガスとメイナードは最終的にインガム境界を 3/5=0.6 から 13/25=0.52 に改善しました。これにより、解析的整数論にも多くの対応する改善がもたらされました。たとえば、研究者は、θ>1/6=0.166…からθ>2/15=0.133…までのほぼすべての短い区間で素数定理の範囲を証明できるようになりました。

著者について

ラリー・ガスは、2019 年 7 月から MIT で数学のクロード E. シャノン教授を務めており、2021 年に MacVicar フェローに選出されました。

彼は、Tom Mrowka の監督のもと、2005 年に MIT から博士号を取得しました。その後、スタンフォード大学の博士研究員、トロント大学の準教員職を経て、2011 年にクーラント研究所の教授に任命されました。その後、2012 年に教授として MIT 数学学部に加わりました。

Guth の研究対象は、計量幾何学、調和解析、および極値の組み合わせです。メートル幾何学とは、長さ、面積、体積を含む不等式の研究を指します。主な例としては、等周不等式や収縮不等式などがあります。ガスの研究の焦点は収縮不等式であり、もう 1 つの焦点は幾何学的不等式とトポロジーの間の関係を見つけることでした。

最近、Guth は調和解析と組み合わせ論の研究に取り組んでいます。多くの研究は、ユークリッド幾何学の未解決問題であるカケヤ問題、フーリエ解析における制限型推定、および極端な組み合わせ論における線出現率の推定に関連しています。 1987年生まれ。イギリスの数学者で、解析的整数論、特に素数論を研究分野としています。

数論における最も有名な問題のいくつかは、素数の分布に関連しています。素数の大規模分布は数論の定理 (より正確にはリーマン予想) に従っていますが、多くの自然問題は短い (または疎な) スケールを扱う必要があります。

ジェームズ・メイナードは2013年に双子素数予想に関して重要な結果を達成しました。彼は、間隔が 600 未満の素数のペアが無限に存在することを証明しました。この結果は、Zhang Yitang の 7,000 万間隔よりも小さいですが、彼の論文は Zhang Yitang より半年遅れて発表されましたが、彼の結果は数論の専門家の間で高く評価されました。

Tao Zhexuan 氏は次のようにコメントしました。「正直に言うと、彼の表現方法は私のものよりもすっきりしています...彼の表現の方がわずかに強いことがわかりました。メイナードの手法は、衝撃的な方法でエレガントかつ強力です。」スクリーニング理論の限界を突破します。そして、一見反対の方向に、彼は素数が平均よりもはるかにまばらである場合があることを示しました。これは有名なエルデシュの問題ですが、何十年も実質的な進歩はありませんでした。

メイナードはまた、ディオファントス近似の分野で基礎的な研究を行い、モントリオール大学の数学教授コウコウロプロスとともにダフィン・シェーファー予想を解きました。 1941 年に提案されたこの予想は、典型的な実数を有理数で近似する方法を説明するヒンチンの定理の最終的な一般化と考えることができます。 2022 年、メイナードは解析的数論への貢献によりフィールズ賞を受賞しました。フィールズ賞は数学界で最も名誉ある賞であり、しばしば数学のノーベル賞とみなされます。ジェームズ メイナードは、素数の構造とディオファントス近似の理解に大きな進歩をもたらした解析的整数論への貢献を讃えられました。

2023 年に、彼は数学で再び New Horizo​​ns Award を受賞しました。

二人の数学者がリーマン予想などの世界の問題に関してさらに進歩することを楽しみにしています。

参考リンク：

https://www.jiqizhixin.com/articles/2019-01-12

https://www.zhihu.com/tardis/zm/ art/557594612

https://news.mit.edu/2014/profile-larry-guth-0527

^{https://mathstodon.xyz/@tao/112557248794707738}

^{https://zh.wikipedia.org/wiki/% E9% BB%8E% EBC%9% EBC%8% 9C% E6%83%B3}

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