y est défini par la fonction cubique fx=ax^3+bx^2+cx+d

Pour la fonction cubique fx ax 3 bx 2 cx da 0 définition : Soit f x la dérivée y de la fonction y fx

(1) D'après le sens de la question, on obtient : f′(x)=3x 2 -12x+5, ∴f′′(x)=6x-12=0, on obtient x=2

Donc les coordonnées du point d'inflexion sont (2,-2)

(2) Supposons que (x 1 , y 1 ) et (x, y) soient symétriques par rapport au centre de (2,-2), et que (x 1 , y 1 ) soit en f(x), donc il y a

x 1 =4-x

a 1 =-4-a ,

De y 1 =x 1 3 -6x 1 2 +5x 1 +4, nous obtenons -4-y=(4-x) 3 -6(4-x) 2 +5(x-4)+4

Simplifié : y=x 3 -6x 2 +5x+4

Donc (x, y) est aussi sur f(x), donc f(x) est symétrique par rapport au point (2,-2).

Le "point d'inflexion" de la fonction cubique f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d(a≠0) est (-

b

3a ,f(-

b

3a )), qui est le centre de symétrie de la fonction f(x)

(Ou : toute fonction cubique a un point d'inflexion ; toute fonction cubique a un centre de symétrie ; toute fonction cubique peut être une fonction impaire après traduction).

(3),G(x)=a(x-1) 3 +b(x-1) 2 +3(a≠0), ou écrivez une fonction spécifique, telle que G(x)=x 3 -3x 2 +3x+2, ou G(x)=x 3 -3x 2 +5x

Pour la définition de la fonction cubique fx ax3 bx2 cx da 0 : Soit f x la dérivée de la fonction y fx

(1)f′(x)=3x2-6x+2…(1 point) f″(x)=6x-6 Soit f″(x)=6x-6=0 et obtenons x=1…(2 points ) f(1)=13-3+2-2=-2∴Point d'inflexion A(1,-2)…(3 points)

(2) Supposons que P(x0,y0) soit n'importe quel point sur l'image de y=f(x), alors y0=x03-3x02+2x0-2, car P(x0,y0) est d'environ A(1,- 2) Le point de symétrie est P'(2-x0,-4-y0),

Mettez P' dans y=f(x) et obtenez le côté gauche=-4-y0=-x03+3x02-2x0-2

Côté droit=(2-x0)3-3(2-x0)2+2(2-x0)-2=-x03+3x02-2x0-2∴Côté droit=côté droit∴P′(2-x0, -4- y0) Sur le graphique de y=f(x), ∴y=f(x) est symétrique par rapport à A...(7 points)

Conclusion : ①Le point d'inflexion de toute fonction cubique est son centre de symétrie

②Toute fonction cubique a un « point d'inflexion »

③Toute fonction cubique a un "centre de symétrie" (écrivez-en un)...(9 points)

(3) Supposons G(x)=ax3+bx2+d, alors G(0)=d=1...(10 points) ∴G(x)=ax3+bx2+1,G'(x)= 3ax2+ 2bx,G''(x)=6ax+2bG''(0)=2b=0,b=0, ∴G(x)=ax3+1=0...(11 points)

Méthode 1 :

G(x1)+G(x2)

2 ?G(

x1+x2

2 )=

a

2

x 3

1

+

a

2

x 3

2

?un(

x1+x2

2 )3=a[

1

2

x 3

1

+

1

2

x 3

2

?(

x1+x2

2 )3]=

a

2 [

x 3

1

+

x 3

2

?

x 3

1

+

x 3

2

+3

x 2

1

x2+3x1

x 2

2

4 ]=

a

8 (3

x 3

1

+3

x 3

2

?3

x 2

1

x2?3x1

x 2

2

)=

a

8 [3

x 2

1

(x1?x2)?3

x 2

2

(x1?x2)]=

3a

8 (x1?x2)2(x1+x2)…(13 points)

Quand a>0,

G(x1)+G(x2)

2 >G(

x1+x2

2 )

Quand aG(x1)+G(x2)

2x1+x2

2)…(14 points)

Méthode 2 : G′′(x)=3ax, lorsque a>0 et x>0, G′′(x)>0, ∴G(x) est une fonction concave en (0, +∞), ∴

G(x1)+G(x2)

2 >G(

x1+x2

2 )…(13 points)

Quand aG(x1)+G(x2)

2x1+x2

2)…(14 points)

Pour la définition de la fonction cubique fx ax3 bx2 cx da 0 : Soit f x la fonction dérivée de la fonction y fx

(1)∵f'(x)=3x2-6x+2,

∴f''(x)=6x-6,

Soit f''(x)=6x-6=0,

On obtient x=1, f(1)=-2

Donc les coordonnées du "point d'inflexion" A sont (1,-2)

(2) Soit P(x0,y0) n'importe quel point sur l'image de y=f(x), alors y0=x03?3x02+2x0?2

∴P(x0,y0) correspond au point de symétrie P'(2-x0,-4-y0) de (1,-2),

Mettez P'(2-x0,-4-y0) dans y=f(x), et obtenez le côté gauche =? 4?y0=?x03+3x02?2x0?2

Côté droit=(2?x0)3?3(2?x0)2+2(2?x0)?2=?x03+3x02?2x0?2

∴Gauche = droite,

∴P'(2-x0,-4-y0) sur l'image y=f(x),

L'image de

∴f(x) est symétrique par rapport au "point d'inflexion" A.

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