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La somme des produits de chaque paire

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2023-09-11 19:33:021171parcourir

La somme des produits de chaque paire

Le produit par paire de l'ensemble X = {a, b, c} peut être défini comme la somme des produits de toutes les paires d'ensembles possibles. Les paires d'ensembles sont Y = {a * a, a * b, a *c, b * b, b * c, c * c}, où les produits sont commutatifs. Par conséquent, le produit par paire d’un ensemble X est la somme des éléments de l’ensemble Y, qui est aa + ab + ac + bb + bc + cc.

En termes mathématiques, la somme des produits possibles par paire peut être exprimée comme suit :

$$mathrm{displaystylesumlimits_{i=1,j=i}^{ileq n,jleq n}:(i,j)=itime j}$$

Énoncé du problème

Étant donné un numéro n. Trouvez la somme des produits par paires dans la plage (1, n), y compris n et 1.

Exemple Exemple 1

Input: n = 4
Output: 65
La traduction chinoise de

Explication

est :

Explication

i va de 1 à 4, j va de i à 4.

1*1 + 1*2 + 1*3 + 1*4 + 2*2 + 2*3 + 2*4 + 3*3 + 3*4 + 4*4 = 1 + 2 + 3 + 4 + 4 + 6 + 8 + 9 + 12 + 16 = 65

Exemple Exemple 2

Input: n = 10
Output: 1705
La traduction chinoise de

Explication

est :

Explication

i va de 1 à 10, j va de i à 10.

1*1 + 1*2 + … + 1*10 + 2*2 + 2*3 + … + 2*10 + 3*3 + 3*4 + … + 3*10 + 4*4 + 4*5 + … 4*10 + 5*5 + 5*6 + … + 5*10 + 6*6 + 6*7 + … 6*10 + 7*7 + 7*8 + … 7*10 + 8* 8 + 8*9 + 8*10 + 9*9 + 9*10 + 10*10 = 1705

Méthode 1 : Méthode de fissuration par force brute

La solution par force brute à ce problème consiste à utiliser deux boucles for pour parcourir toutes les paires de nombres possibles dans la plage, où la première boucle parcourt de 1 à n et la deuxième boucle parcourt du premier nombre à n.

pseudocode

procedure pairwiseProduct (n)
   sum = 0
   for i = 1 to n
      for j = i to n
         sum = sum + (i * j)
end procedure

Exemple : implémentation C++

Dans le programme suivant, nous trouvons toutes les paires possibles puis trouvons la somme des produits.

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// Function to find pairwise product over the range 1 to n, 1 and n inclusive
unsigned long long pairwiseProduct(unsigned int n){
   unsigned long long sum = 0;
   
   // First number: 1 <= i <= n
   for (unsigned int i = 1; i <= n; i++){
   
      // Second number: i <= j <= n
      for (unsigned int j = i; j <= n; j++){
         sum += i * j;
      }
   }
   return sum;
}
int main(){
   unsigned long long n = 9;
   cout << "Pairwise Product = " << pairwiseProduct(n);
   return 0;
}

Sortie

Pairwise Product = 1155

Complexité temporelle - O(n^2)

Complexité spatiale - O(1)

Méthode 2

Prenons n = 4 comme exemple,

I = 1*1 + 1*2 + 1*3 + 1*4 + 2*2 + 2*3 + 2*4 + 3*3 + 3*4 + 4*4

En simplifiant ce qui précède,

I = 1*1 + (1+2)*2 + (1+2+3)*3 + (1+2+3+4)*4

Prenons prefix_sum[1] = 1,

Somme du préfixe[2] = 1+2,

Somme des préfixes[3] = 1+2+3,

Somme du préfixe[2] = 1+2,

pseudocode

procedure pairwiseProduct (n)
   sum = 0
   prefixSum = 0
   for i = 1 to n
      prefixSum = prefixSum + 1
      sum = sum + i * prefixSum
end procedure

Exemple : implémentation C++

Dans le programme ci-dessous, on trouve la somme de chaque itération, la somme des préfixes, et on la multiplie par le nombre d'itérations puis on l'ajoute à la somme finale à chaque étape.

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// Function to find pairwise product over the range 1 to n, 1 and n inclusive
unsigned long long pairwiseProduct(unsigned int n){
   unsigned long long sum = 0;
   unsigned long long prefixSum = 0;
   for (unsigned int i = 1; i <= n; i++){
      prefixSum += i;
      sum += i * prefixSum;
   }
   return sum;
}
int main(){
   unsigned long long n = 9;
   cout << "Pairwise Product = " << pairwiseProduct(n);
   return 0;
}

Sortie

Pairwise Product = 1155

Conclusion

En bref, pour résoudre la somme des produits par paires de nombres compris entre 1 et n, nous pouvons utiliser l'une des deux méthodes mentionnées ci-dessus, la première méthode est la méthode de la force brute et la complexité temporelle est O(n^ 2) , la deuxième méthode est une méthode d'optimisation qui utilise la somme des préfixes pour calculer la somme de deux produits, et la complexité temporelle est O(n).

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