Comment implémenter une multiplication rapide de grands nombres en utilisant PHP et GMP

Comment utiliser PHP et GMP pour implémenter une multiplication rapide de grands nombres

Introduction :
En informatique, l'arithmétique des nombres entiers est l'une des opérations les plus basiques et les plus couramment utilisées. Cependant, lorsqu’il s’agit de grands entiers, les méthodes arithmétiques traditionnelles deviennent inefficaces. Cet article expliquera comment utiliser la bibliothèque GMP (GNU Multiple Precision) en PHP pour implémenter une multiplication rapide de grands nombres et fournira des exemples de code correspondants.

1. Introduction à la bibliothèque GMP
   La bibliothèque GMP est une bibliothèque de calcul de haute précision qui fournit des fonctions telles que les opérations d'addition, de soustraction, de multiplication, de division et de puissance pour les grands entiers. L'avantage de la bibliothèque GMP est l'efficacité de son algorithme, qui peut gérer de très grands entiers. L'extension GMP fournie avec PHP est basée sur l'encapsulation de la bibliothèque GMP et fournit une interface simple et facile à utiliser.
2. Algorithme de multiplication rapide
   L'algorithme de multiplication rapide est un algorithme optimisé utilisé pour réduire la complexité des opérations de multiplication de $O(n^2)$ à $O(nlog n)$. Il est basé sur la stratégie diviser pour régner, qui convertit la multiplication de grands nombres en multiplication de petits nombres. Voici l'idée de base de l'algorithme de multiplication rapide :

1) Décomposez les deux grands nombres $x$ et $y$ à multiplier sous la forme $acdot10^m+b$ et $ccdot10^m +d$, où $ a$ et $c$ sont respectivement les parties d'ordre supérieur de $x$ et $y$, $b$ et $d$ sont respectivement les parties d'ordre inférieur de $x$ et $y$ , et $m$ est le nombre approprié de bits.

2) Multipliez deux grands nombres pour obtenir $(acdot10^m+b)(ccdot10^m+d)$, utilisez la formule $accdot10^{2m}+[(a+b)(c+d) -ac -bd]cdot10^m+bd$ résultat du calcul.

3) Calculez récursivement les trois parties $ac$, $bd$ et $(a+b)(c+d)$ dans la multiplication.

4) Réduisez le problème de multiplication à une simple multiplication en répétant plusieurs fois jusqu'à ce qu'un cas de base soit atteint.

Grâce aux étapes ci-dessus, vous pouvez réaliser une multiplication rapide de grands nombres.

3. Exemple de code PHP
   Ce qui suit est un exemple de code pour implémenter une multiplication rapide de grands nombres à l'aide de la bibliothèque GMP en PHP :

<?php
function multiply($x, $y) {
    $x_gmp = gmp_init($x);
    $y_gmp = gmp_init($y);
    
    // 当待乘数小于等于一个阈值时，直接返回乘法结果
    if (gmp_cmp($x_gmp, "1000000") <= 0 || gmp_cmp($y_gmp, "1000000") <= 0) {
        return gmp_strval(gmp_mul($x_gmp, $y_gmp));
    }
    
    // 将待乘数分解为高位部分$a$和低位部分$b$
    $x_str = gmp_strval($x_gmp);
    $split_point = ceil(strlen($x_str) / 2);
    $a = substr($x_str, 0, -$split_point);
    $b = substr($x_str, -$split_point);
    
    // 将乘数对应分解为高位部分$c$和低位部分$d$
    $y_str = gmp_strval($y_gmp);
    $c = substr($y_str, 0, -$split_point);
    $d = substr($y_str, -$split_point);
    
    // 计算子问题的结果
    $ac = multiply($a, $c);
    $bd = multiply($b, $d);
    $abcd = multiply(gmp_add($a, $b), gmp_add($c, $d));
    $ad_bc = gmp_sub($abcd, gmp_add($ac, $bd));
    
    // 计算最终结果并返回
    $result = gmp_add(gmp_mul(gmp_pow(10, 2 * $split_point), $ac), gmp_add(gmp_mul(gmp_pow(10, $split_point), $ad_bc), $bd));
    return gmp_strval($result);
}

// 示例输入
$x = "12345678901234567890";
$y = "98765432109876543210";

// 调用乘法函数
$result = multiply($x, $y);
echo "Result: " . $result . "
";
?>

En utilisant le code ci-dessus, nous pouvons implémenter une multiplication rapide de grands nombres.

Conclusion :
Cet article présente comment utiliser la bibliothèque GMP en PHP pour implémenter une multiplication rapide de grands nombres. En utilisant l'algorithme de multiplication rapide, nous pouvons réduire la complexité de l'opération de multiplication de $O(n^2)$ à $O(nlog n)$, améliorant ainsi l'efficacité de l'algorithme. J'espère que cet article sera utile pour comprendre et mettre en œuvre une multiplication rapide de grands nombres.

Ce qui précède est le contenu détaillé de. pour plus d'informations, suivez d'autres articles connexes sur le site Web de PHP en chinois!