Comment utiliser PHP et GMP pour implémenter le test de primalité de Miller-Rabin sur les grands nombres

Comment implémenter le test de primalité de Miller-Rabin sur de grands nombres à l'aide de PHP et GMP

Introduction :
Les nombres premiers jouent un rôle important en cryptographie et en informatique. Le test de primalité de Miller-Rabin est un algorithme probabiliste utilisé pour tester si un nombre est premier. Il donne la bonne réponse avec une forte probabilité. Cet article présentera comment utiliser le langage PHP et la bibliothèque GMP (GNU Multiple Precision Arithmetic Library) pour implémenter l'algorithme de test de primalité de Miller-Rabin pour les grands nombres.

Présentation de la bibliothèque GMP :
La bibliothèque GMP est une bibliothèque open source pour les calculs de haute précision, qui prend en charge les grands entiers. Nous pouvons utiliser la bibliothèque GMP pour gérer des calculs de grands nombres, y compris l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et d'autres opérations de grands nombres.

Principe de l'algorithme :
L'algorithme du test de primalité de Miller-Rabin est basé sur l'extension du petit théorème de Fermat. Le théorème stipule que si le nombre premier p et l'entier a sont premiers relativement et a^(p-1) ≡ 1 (mod p), alors a est une base de p et p a plus de la moitié des bases.

Selon l'algorithme de test de primalité de Miller-Rabin, nous pouvons déterminer si un nombre est premier avec une certaine probabilité en sélectionnant plusieurs fois différentes bases. L'idée de l'algorithme est que pour chaque nombre n testé, nous sélectionnons une base aléatoire b, puis calculons a^d ≡ 1 (mod n) et a^(2^r*d) ≡ -1 (mod n ) Que ce soit vrai, si c'est vrai, alors n peut être un nombre premier sinon, nous pouvons être sûrs que n est un nombre composé ;

Exemple de code :

<?php

// 导入GMP库
if (!extension_loaded('gmp')) {
    dl('gmp.so');
}

function millerRabinTest($n, $k = 20) {
    if ($n <= 1 || $n == 4) {
        return false;
    }
    if ($n <= 3) {
        return true;
    }

    // 将$n-1表示为(2^r) * d的形式
    $r = 0;
    $d = $n - 1;
    while (gmp_mod($d, 2) == 0) {
        $d >>= 1;
        $r++;
    }

    for ($i = 0; $i < $k; $i++) {
        $a = gmp_random_range(2, $n - 2);
        $x = gmp_powm($a, $d, $n);

        if ($x == 1 || $x == $n - 1) {
            continue;
        }

        $continueLoop = false;
        for ($j = 0; $j < $r - 1; $j++) {
            $x = gmp_powm($x, 2, $n);
            if ($x == 1) {
                return false;
            }
            if ($x == $n - 1) {
                $continueLoop = true;
                break;
            }
        }

        if (!$continueLoop) {
            return false;
        }
    }

    return true;
}

// 测试示例
$numbers = [
    gmp_init('2'),
    gmp_init('3'),
    gmp_init('4'),
    gmp_init('17'),
    gmp_init('7919'),
    gmp_init('999999999999999993')
];

foreach ($numbers as $number) {
    echo gmp_strval($number) . ' is ' . (millerRabinTest($number) ? 'prime' : 'composite') . PHP_EOL;
}

Cet exemple utilise la fonction millerRabinTest() pour tester si un nombre est premier. Le paramètre $k représente le nombre d'itérations du test. Dans l'exemple de test, nous avons testé certains nombres séparément et imprimé les résultats du test.

Résumé :
L'algorithme de test de primalité de Miller-Rabin est un algorithme de détection de primalité efficace, particulièrement adapté aux grands nombres. En utilisant le langage PHP et la bibliothèque GMP, nous pouvons facilement implémenter cet algorithme. Grâce au test de primalité de Miller-Rabin, nous pouvons déterminer efficacement si un nombre est premier, fournissant ainsi un outil puissant dans les domaines de la cryptographie, de la sécurité et dans d'autres domaines.

Ce qui précède est le contenu détaillé de. pour plus d'informations, suivez d'autres articles connexes sur le site Web de PHP en chinois!