Qu'est-ce que l'algorithme EM en Python ?

L'algorithme EM en Python est une méthode itérative basée sur l'estimation du maximum de vraisemblance, qui est couramment utilisée pour les problèmes d'estimation de paramètres dans l'apprentissage non supervisé. Cet article présentera la définition, les principes de base, les scénarios d'application et l'implémentation Python de l'algorithme EM.

1. Définition de l'algorithme EM

L'algorithme EM est l'abréviation de l'algorithme de maximisation des attentes. Il s'agit d'un algorithme itératif conçu pour résoudre l'estimation du maximum de vraisemblance compte tenu des données observées.

Dans l'algorithme EM, il est nécessaire de supposer que les données de l'échantillon proviennent d'une certaine distribution de probabilité, et que les paramètres de la distribution sont inconnus et doivent être estimés par l'algorithme EM. L'algorithme EM suppose que les paramètres inconnus peuvent être divisés en deux catégories, l'une étant des variables observables et l'autre des variables non observables. Par itération, la valeur attendue de la variable non observable est utilisée comme valeur estimée du paramètre, puis la solution est à nouveau résolue jusqu'à convergence.

2. Principes de base de l'algorithme EM

1. Étape E (Attente)

Dans l'étape E, il est nécessaire de calculer la distribution de probabilité des variables cachées en fonction des estimations des paramètres actuels, c'est-à-dire de résoudre les conditions de chaque variable cachée Distribution, c'est-à-dire la valeur attendue de la variable cachée. Cette valeur attendue est calculée sur la base des estimations des paramètres actuels.

2. Étape M (Maximisation)

Dans l'étape M, les valeurs actuelles des paramètres doivent être réestimées en fonction de la valeur attendue de la variable cachée calculée dans l'étape E. Cette estimation est calculée à partir de la valeur attendue de la variable latente calculée à l'étape E.

3. Mettre à jour les valeurs des paramètres

Grâce à l'itération de l'étape E et de l'étape M, un ensemble d'estimations de paramètres sera éventuellement obtenu. Si l’estimation converge, l’algorithme se termine, sinon l’itération continue. Chaque itération optimise les valeurs des paramètres jusqu'à ce que l'estimation optimale des paramètres soit trouvée.

3. Scénarios d'application de l'algorithme EM

L'algorithme EM est largement utilisé dans les domaines d'apprentissage non supervisé, tels que l'analyse de cluster, la sélection de modèles et les modèles de Markov cachés, etc.

Par exemple, dans les problèmes de clustering, l'algorithme EM peut être utilisé pour l'estimation des paramètres des modèles de mélange gaussiens, c'est-à-dire que la distribution des données observées est modélisée comme un modèle de mélange de plusieurs distributions gaussiennes, et les échantillons sont regroupés de sorte que les données dans chaque groupe obéit à la même distribution de probabilité. Dans l'algorithme EM, le problème est résolu en regroupant les données dans l'étape E et en mettant à jour les paramètres de la distribution gaussienne dans l'étape M.

De plus, dans le traitement d'images, l'algorithme EM est également souvent utilisé dans des tâches telles que la segmentation et le débruitage d'images.

4. Python implémente l'algorithme EM

En Python, il existe de nombreuses fonctions qui peuvent utiliser l'algorithme EM pour l'estimation des paramètres, telles que l'implémentation de l'algorithme EM dans la bibliothèque SciPy, le modèle de mélange gaussien GMM dans la bibliothèque scikit-learn. , et la bibliothèque TensorFlow d'encodeur automatique variationnel, etc.

Ce qui suit est une introduction utilisant l'implémentation de l'algorithme EM de la bibliothèque SciPy comme exemple. Tout d'abord, vous devez l'importer dans Pyhton comme suit :

import scipy.stats as st
import numpy as np

Ensuite, définissez la fonction de densité de probabilité d'un modèle de mélange gaussien comme fonction objectif d'optimisation de l'algorithme EM :

def gmm_pdf(data, weights, means, covs):
    n_samples, n_features = data.shape
    pdf = np.zeros((n_samples,))
    for i in range(len(weights)):
        pdf += weights[i]*st.multivariate_normal.pdf(data, mean=means[i], cov=covs[i])
    return pdf

Ensuite, définissez la fonction de l'algorithme EM :

def EM(data, n_components, max_iter):
    n_samples, n_features = data.shape
    weights = np.ones((n_components,))/n_components
    means = data[np.random.choice(n_samples, n_components, replace=False)]
    covs = [np.eye(n_features) for _ in range(n_components)]

    for i in range(max_iter):
        # E步骤
        probabilities = np.zeros((n_samples, n_components))
        for j in range(n_components):
            probabilities[:,j] = weights[j]*st.multivariate_normal.pdf(data, mean=means[j], cov=covs[j])
        probabilities = (probabilities.T/probabilities.sum(axis=1)).T

        # M步骤
        weights = probabilities.mean(axis=0)
        means = np.dot(probabilities.T, data)/probabilities.sum(axis=0)[:,np.newaxis]
        for j in range(n_components):
            diff = data - means[j]
            covs[j] = np.dot(probabilities[:,j]*diff.T, diff)/probabilities[:,j].sum()

    return weights, means, covs

Enfin, vous pouvez utiliser Le code suivant est utilisé pour tester l'algorithme EM :

# 生成数据
np.random.seed(1234)
n_samples = 100
x1 = np.random.multivariate_normal([0,0], [[1,0],[0,1]], int(n_samples/2))
x2 = np.random.multivariate_normal([3,5], [[1,0],[0,2]], int(n_samples/2))
data = np.vstack((x1,x2))

# 运行EM算法
weights, means, covs = EM(data, 2, 100)

# 输出结果
print('weights:', weights)
print('means:', means)
print('covs:', covs)

Références :

[1] Xu, R. & Wunsch, D. C. (2005) Enquête sur les algorithmes de clustering. Networks, 16(3), 645-678.

[2] Blei, D. M., Ng, A. Y. et Jordan, M. I. (2003). Allocation de dirichlet latente, 3(4-5), 993. -1022.

Ce qui précède est le contenu détaillé de. pour plus d'informations, suivez d'autres articles connexes sur le site Web de PHP en chinois!