Introduction aux opérations symboliques algébriques Sympy en Python

Cet article vous présente une introduction aux opérations symboliques algébriques Sympy en Python. Il a une certaine valeur de référence. Les amis dans le besoin peuvent s'y référer.

Au cours de nos près de 10 années d'études au collège, au lycée et au collège, les mathématiques ont toujours joué un rôle très important. Cependant, en regardant le passé, nous constatons que nous y avons consacré beaucoup de temps. résoudre des problèmes de manière répétée et effectuer des calculs. Sur Internet, les méthodes de calcul, les compétences en calcul, la capacité de calcul écrit et la mémoire des formules mathématiques semblent être devenues tout ce que nous apprenons en mathématiques. Ces souvenirs et ces compétences sont oubliés en quelques années, mais beaucoup de gens se souviennent encore de l'ombre ; les calculs au stylo et la résolution de problèmes sont remplacés par des logiciels d'IA, de graphisme, d'analyse de données, etc. Alors que reste-t-il des mathématiques de nos années d’étudiant ?

Calculatrices et mathématiques

En parlant de calculatrices mathématiques, les quatre opérations arithmétiques courantes sont l'addition, la soustraction, la multiplication et la division. Avec elle, nous pouvons nous débarrasser des opérations traditionnelles. calculs de calculs écrits et calculs mentaux. L'addition, la soustraction, la multiplication et la division de plus de quatre chiffres ne sont en réalité pas difficiles en termes de principes mathématiques. Cependant, si nous ne nous appuyons pas sur une calculatrice et comptons uniquement sur notre capacité de calcul (arithmétique écrite et calcul mental), non seulement nous le ferons. la précision du calcul sera considérablement réduite, mais cela rendra également le calcul plus difficile. Notre utilisation des mathématiques reste à un niveau très superficiel.

Bien que les quatre opérations arithmétiques soient si simples, le calcul mental des opérations à plusieurs chiffres est classé comme une capacité de génie dans nos vies. Cependant, l'application des mathématiques doit être pratique et vulgarisée, plutôt qu'un simple brevet pour les génies. La calculatrice a tout changé. C'est le charme de la calculatrice.
La calculatrice peut également effectuer des opérations scientifiques, telles que l'exponentiation, la racine carrée, l'exposant, le logarithme, les fonctions trigonométriques, etc. Bien que ces connaissances puissent également être calculées avec un stylo et du papier à l'époque du collège, elles sont limitées à certains extrême Une fois que les opérations courantes et simples deviennent compliquées, cela devient un projet compliqué d'effectuer des opérations avec un stylo et du papier. Par conséquent, les calculatrices peuvent nous rapprocher de l’application des mathématiques .

Mais les mathématiques que nous avons apprises pendant nos années d'étudiant sont bien plus que celles-ci, en particulier les mathématiques avancées (calcul), l'algèbre linéaire, les probabilités et les statistiques et d'autres connaissances mathématiques sont largement utilisées (je ne l'ai appris que plus tard), mais à cause de leur Les calculs sont très complexes. Même si nous maîtrisons ces connaissances, il n'est pas facile de les appliquer. Existe-t-il des calculatrices pour le calcul, l'algèbre linéaire, les probabilités et les statistiques, etc.

La réponse est oui. Il s'agit d'un système de calcul formel, ou CAS en abrégé, la bibliothèque Sympy prend également en charge le calcul, l'algèbre linéaire, etc. avec des symboles mathématiques pour les opérations.

Avec une calculatrice, nous pouvons vraiment rompre avec la résolution de problèmes complexes en mathématiques et consacrer notre énergie à l'apprentissage des principes et des applications mathématiques, et c'est le sens de l'apprentissage des mathématiques (au travail).

Système de calcul formel

Sympy peut implémenter des opérations sur des symboles mathématiques, l'utiliser pour effectuer la dérivation symbolique et la vérification d'expressions mathématiques, et traiter les dérivées, les limites, le calcul et les équations avec des groupes de symboles mathématiques, les matrices, etc., sont aussi simples qu'une calculatrice scientifique, similaire au Computer Algebra System CAS Bien que CAS soit généralement un logiciel de visualisation, Wikipédia classe également Sympy comme CAS.

Plusieurs logiciels mathématiques bien connus tels que Mathematica, Maxima, Matlab (nécessite Symbolic Math Toolbox), Maple etc. peut effectuer des opérations symboliques. Dans l'article précédent, nous avons comparé Python avec R et Matlab. Évidemment, Python présente des avantages très évidents dans des scénarios spécifiés, j'ai donc étudié la comparaison entre Sympy et Mathematica lors de la saisie de formules. pas bon pour générer des graphiques (Python a d'autres bibliothèques pour compenser cela). Sympy peut essentiellement faire tout ce que Mathematica peut faire.

Ainsi dans le domaine des mathématiques professionnelles (mathématiques, science des données, etc.), Python a formé une chaîne écologique extrêmement complète car il dispose de nombreuses et puissantes bibliothèques tierces, même face aux plus grandes bibliothèques au monde. puissant Le logiciel le plus dur est également vrai.

Le prochain numéro de cette chronique sur l'apprentissage des mathématiques avec Python présentera également des outils mathématiques très pratiques et des ressources pédagogiques en mathématiques pour rendre l'apprentissage des mathématiques plus facile et plus vivant.

Opérations symboliques de Sympy

Si vous avez déjà étudié les mathématiques et connaissez le système de calcul formel CAS, vous serez familier avec les opérations des symboles mathématiques. Cependant, si vous êtes déjà programmeur, vous serez familiarisé avec les opérations symboliques de Sympy. peut-être un peu inconnu. C’est si clair, découvrons-le ensuite.

La différence entre les fonctions Sympy et Math

Jetons d'abord un coup d'œil à la différence entre la bibliothèque Sympy et la fonction Math intégrée de Python dans le traitement des calculs numériques. Afin de rendre le code exécutable, le code suivant est basé sur le code complet de Python3.

import sympy,math
print(math.sqrt(8))
print(sympy.sqrt(8))

Après l'exécution, le résultat est affiché comme :

2.8284271247461903
2*sqrt(2)

Le module mathématique résout directement une valeur à virgule flottante, tandis que Sympy utilise des symboles mathématiques pour exprimer le résultat, combinés avec LaTex De la grammaire, nous pouvons obtenir celle que nous connaissons le mieux dans les manuels : $2sqrt{2}$.

Symboles et expressions mathématiques

我们要对数学方程组、微积分等进行运算时，就会遇到变量比如x,y,z,f等的问题，也会遇到求导、积分等代数符号表达式，而Sympy就可以保留变量，计算有代数符号的表达式的。

from sympy import *
x = Symbol('x')
y = Symbol('y')
k, m, n = symbols('k m n')
print(3*x+y**3)

输出的结果为：3*x + y**3，转化为LaTex表示法之后结果为$3x+y^3$，输出的结果就带有x和y变量。Symbol()函数定义单个数学符号；symbols()函数定义多个数学符号。

折叠与展开表达式

factor()函数可以折叠表达式，而expand()函数可以展开表达式，比如表达式：$x^4+xy+8x$，折叠之后应该是$x(x^3+y+8)$。我们来看具体的代码：

from sympy import *
x,y = symbols('x y')
expr=x**4+x*y+8*x
f_expr=factor(expr)
e_expr=expand(f_expr)
print(f_expr)
print(e_expr)

表达式的折叠与展开，对应的数学知识就是因式分解，相关的数学知识在人教版初二的教程里。用Python学习数学专栏的目的就是要Python与初高中、大学的数学学习结合起来，让数学变得更加简单生动。

表达式化简

simplify()函数可以对表达式进行化简。有一些表达式看起来会比较复杂，就拿人教版初二上的一道多项式的乘法为例，简化$(2x)^3(-5xy^2)$。

from sympy import *
x,y = symbols('x y')
expr=(2*x)**3*(-5*x*y**2)
s_expr=simplify(expr)
print(s_expr)

求解方程组

在人教版的数学教材里，我们初一上会接触一元一次方程组，初一下就会接触二元一次方程、三元一次方程组，在初三上会接触到一元二次方程，使用Sympy的solve()函数就能轻松解题。

解一元一次方程

我们来求解这个一元一次方程组。(题目来源于人教版七年级数学上)
$$6 \times x + 6 \times(x-2000)=150000$$

from sympy import *
x = Symbol('x')
print(solve(6*x + 6*(x-2000)-150000,x))

我们需要掌握Python的代码符号和数学符号之间的对应关系,解一元一次方程就非常简单。

解二元一次方程组

我们来看如何求解二元一次方程组。（题目来自人教版七年级数学下）

$$ \begin{cases} x+ y =10,\\ 2 \times x+ y=16   \end{cases} $$

from sympy import *
x,y = symbols('x y')
print(solve([x + y-10,2*x+y-16],[x,y]))

很快就可以得出{x: 6, y: 4}，也就是
$$x=6,y=4$$。

解三元一次方程组

我们来看如何解三元一次方程组。（题目来自人教版七年级数学下）

$$ \begin{cases} x+y+z=12,\\ x+2y+5z=22,\\ x=4y.   \end{cases} $$

执行之后，很快可以得出结果{x: 8, y: 2, z: 2}，也就是
$$x=8,y=2,z=2$$

解一元二次方程组

比如我们来求解人教版九年级一元二次方程组比较经典的一个题目，$ax^2+bx+c=0$.

from sympy import *
x,y = symbols('x y')
a,b,c=symbols('a b c')
expr=a*x**2 + b*x + c
s_expr=solve( expr, x)
print(s_expr)

执行之后得出的结果为[(-b + sqrt(-4*a*c + b**2))/(2*a), -(b + sqrt(-4*a*c + b**2))/(2*a)],我们知道根与系数的关系二次方程会有两个解，这里的格式就是一个列表。转为我们常见的数学公式即为：
$$\frac{-b+\sqrt{-4ac+b^2}}{2a} 、-\frac{b+\sqrt{-4ac+b^2}}{2a}$$

微积分Calculus

微积分是大学高等数学里非常重要的学习内容，比如求极限、导数、微分、不定积分、定积分等都是可以使用Sympy来运算的。
求极限
Sympy是使用limit(表达式，变量，极限值)函数来求极限的，比如我们要求$\lim \limits_{x \to 0} \frac{sinx(x)}{x}$的值。

from sympy import *
x, y, z = symbols('x y z')
expr = sin(x)/x
l_expr=limit(expr, x, 0)
print(l_expr)

执行后即可得到结果为1。

求导

可以使用diff(表达式,变量,求导的次数)函数对表达式求导，比如我们要对$sin(x)e^x$进行$x$求导，以及求导两次，代码如下：

from sympy import *
x,y = symbols('x y')
expr=sin(x)*exp(x)
diff_expr=diff(expr, x)
diff_expr2=diff(expr,x,2)
print(diff_expr)
print(diff_expr2)

求导一次的结果就是exp(x)*sin(x) + exp(x)*cos(x)，也就是$e^xsin(x)+e^xcos(x)$；求导两次的结果是2*exp(x)*cos(x)，也就是
$$2e^xcosx$$

求不定积分

Sympy是使用integrate(表达式,变量)来求不定积分的，比如我们要求$\int(e^x\sin{(x)} + e^x\cos{(x)})\,dx$

from sympy import *
x,y = symbols('x y')
expr=exp(x)*sin(x) + exp(x)*cos(x)
i_expr=integrate(expr,x)
print(i_expr)

执行之后的结果为：exp(x)*sin(x) 转化之后为：
$$e^xsin(x)$$

求定积分

Sympy同样是使用integrate()函数来做定积分的求解，只是语法不同：integrate(表达式,（变量,下区间,上区间))，我们来看如果求解
$\int_{-\infty}^\infty \sin{(x^2)}\,dx$

from sympy import *
x,y = symbols('x y')
expr=sin(x**2)
i_expr=integrate(expr, (x, -oo, oo))
print(i_expr)

执行之后的结果为sqrt(2)*sqrt(pi)/2，也就是
$$\frac{\sqrt{2}\sqrt{\pi}}{2}$$

Sympy能够做的也远不止这些，初高中、大学的数学运算题在Sympy极为丰富的功能里不过只是开胃入门小菜而已。

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