Conversion intégrale de la courbe: pourquoi utiliser y = sin (t) au lieu d'une transformation des coordonnées polaires?

Discussion sur le remplacement des variables intégrales de la courbe

Cet article analyse les techniques de substitution variable dans un problème intégral de courbe. La réponse n'est pas d'utiliser la transformation des coordonnées polaires, mais d'utiliser la substitution de la fonction trigonométrique pour simplifier le calcul intégral.

La formule intégrale d'origine est: $ \ int_0 ^ 1 \ frac {y ^ 2} {\ sqrt {1-y ^ 2}} dy $

La réponse est la méthode suivante d'échange de l'élément: Soit $ y = \ sin (t) $. Puisque l'intervalle intégral $ y \ in (0, 1) $, alors $ t \ in (0, \ frac {\ pi} {2}) $. Dans cet intervalle, $ \ sin (t) $ et $ \ cos (t) $ sont tous deux des valeurs positives.

Après avoir substitué le convertisseur, la formule intégrale devient:

$ \ int_0 ^ 1 \ frac {y ^ 2} {\ sqrt {1-y ^ 2}} dy = \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ frac {\ sin ^ 2t} {\ sqrt {1- \ Sin ^ 2t}} d (\ sin t) $

Puisque $ d (\ sin t) = \ cos t dt $, et $ \ sqrt {1 - \ sin ^ 2t} = \ cos t $ (dans l'intervalle de $ t \ in (0, \ frac {\ pi} {2}) $), l'intégrale peut être simplifiée à:

$ \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ frac {\ sin ^ 2t} {\ cos t} \ cos t dt = \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ sin ^ 2t dt $

Grâce à la substitution de $ y = \ sin (t) $, le nombre racine est intelligemment éliminé et le calcul intégral est simplifié. Cela reflète l'importance de choisir la substitution variable appropriée pour simplifier le processus d'intégration. Par rapport à la transformation des coordonnées polaires, cette méthode résout ce problème intégral spécifique plus directement et efficacement. La clé consiste à sélectionner raisonnablement la variable de transmutation et à gérer correctement la limite intégrale et les éléments différentiels.

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