Remplacement de la variable intégrale de la courbe: comment convertir $ \ int_0 ^ 1 \ frac {y ^ 2} {\ sqrt {1-y ^ 2}} dy $ à $ \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ sin ^ 2tdt $?

Explication détaillée du remplacement de la variable intégrale de la courbe: simplifiez l'intégrale qualitative

Cet article explique en détail comment simplifier l'intégrale fixe $ \ int_0 ^ 1 \ frac {y ^ 2} {\ sqrt {1-y ^ 2}} dy $ à $ \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ sin ^ 2tdt $ par remplacement de la variable. De nombreux étudiants auront des difficultés à gérer de tels points.

Ce n'est pas une transformation de coordonnées polaires, mais une méthode de remplacement variable simple peut être résolue. La clé consiste à choisir la bonne variable de remplacement.

Étapes de résolution de problèmes:

Nous choisissons de remplacer la variable $ y = \ sin (t) $. Étant donné que l'intervalle intégral d'origine est $ 0 \ le y \ le 1 $, l'intervalle $ t $ correspondant est $ 0 \ le t \ le \ frac {\ pi} {2} $. Dans cet intervalle, $ \ sin (t) $ et $ \ cos (t) $ sont non négatifs.

1. Remplacer la variable: substitut $ y = \ sin (t) $ dans la formule intégrale d'origine: $ \ int_0 ^ 1 \ frac {y ^ 2} {\ sqrt {1-y ^ 2}} dy $

2. Limite des points de remplacement: lorsque $ y = 0 $, $ t = 0 $; Quand $ y = 1 $, $ t = \ frac {\ pi} {2} $.

3. Calculez le différentiel: dérivé pour $ y = \ sin (t) $ pour obtenir $ dy = \ cos (t) dt $

4. Remplacez la formule intégrale: substitut $ y = \ sin (t) $ et $ dy = \ cos (t) dt $ dans la formule intégrale d'origine:

   $ \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ frac {\ sin ^ 2t} {\ sqrt {1- \ sin ^ 2t}} \ cos (t) dt $

5. Simplification: puisque 1 1 - \ sin ^ 2t = \ cos ^ 2t $ et dans l'intervalle $ 0 \ le t \ le \ frac {\ pi} {2} $$$$, $ \ cos (t) \ ge 0 $, donc $ \ sqrt {1- \ sin ^ 2t} = \ sqrt {\ cos ^ 2t} = \ cos (t) $. Après avoir substitué, la formule intégrale devient:

   $ \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ frac {\ sin ^ 2t} {\ cos (t)} \ cos (t) dt $

6. Résultat final: après simplification, nous obtenons:

   $ \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ sin ^ 2t dt $

Grâce à ce remplacement variable intelligent, nous simplifions avec succès une intégrale complexe dans une forme plus facilement calculée. N'oubliez pas que le choix de la bonne variable de remplacement et la gestion correcte de la limite intégrale et des termes différentiels sont la clé pour résoudre le problème.

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