Comment pouvons-nous mettre au carré de grands nombres rapidement et avec précision sans perte de précision ?

Calcul de y = x^2 rapidement sans perte de précision

Problème :
Étant donné une entrée bignum x représenté comme un tableau d'entiers non signés de 32 bits, calculez y = x^2 le plus rapidement possible sans perdre en précision à cause de multiplication.

Approche initiale :
L'approche initiale proposée par l'auteur de la question consiste à calculer y = x*x pour éliminer plusieurs multiplications. Cependant, cela présente plusieurs inconvénients, notamment :

Multiplication Karatsuba :
La multiplication Karatsuba est un algorithme diviser pour régner qui accélère les opérations de multiplication. Il comporte trois étapes récursives :

• Divisez les entrées en morceaux plus petits
• Appliquez l'étape récursive à chaque morceau
• Combinez les résultats

Cette approche peut améliorer considérablement les performances de multiplication, car elle réduit la complexité temporelle de O(n^2) à O(n^log2(3)).

Multiplication de Schönhage-Strassen modifiée (NTT) :
L'algorithme de Schönhage-Strassen, lorsqu'il est modifié à l'aide de la NTT (Number Theoretic Transform) , peut encore accélérer les opérations de multiplication. Il repose sur l'exécution de la multiplication dans le domaine fréquentiel.

Cependant, l'utilisation de NTT présente des limites en raison de problèmes de débordement. La taille du vecteur d'entrée/sortie NTT est limitée par la taille maximale autorisée du bignum d'entrée. Dans l'implémentation fournie par l'auteur de la question, NTT est utilisé à la fois pour la multiplication et la mise au carré, avec des seuils variables en fonction de la taille des opérandes.

Conclusion :

Pour petits nombres, l'approche de quadrature rapide de l'auteur est la meilleure option. Pour des nombres plus grands, la multiplication Karatsuba ou NTT devient plus efficace. Grâce à diverses optimisations, la multiplication NTT est devenue plus rapide que Karatsuba après un certain seuil.

Questions en suspens :

L'auteur reconnaît qu'il peut exister un algorithme plus efficace qui a été négligé. Des recherches et des expérimentations supplémentaires sont nécessaires pour identifier la meilleure approche pour chaque cas d'utilisation spécifique et plage de taille de données.

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