Comment l'opérateur barre oblique inverse (\\) de MATLAB résout-il les équations linéaires ?

Comment l'opérateur mldivide de MATLAB résout les équations linéaires

L'opérateur mldivide de MATLAB, également connu sous le nom d'opérateur barre oblique inverse "", est un outil polyvalent pour le calcul solutions aux systèmes linéaires exprimées sous forme matricielle. Il englobe divers algorithmes pour gérer différents types de matrices d'entrée afin de garantir l'efficacité et la stabilité numérique.

Sélection d'algorithmes pour les matrices non carrées :

Pour les matrices non carrées, l'opérateur barre oblique inverse utilise la décomposition QR pour déterminer la solution. La décomposition QR factorise la matrice A en vecteurs orthogonaux Q et une matrice triangulaire supérieure R. La solution x est alors obtenue en résolvant le système triangulaire supérieur R (Q' * b).

Sélection d'algorithme pour le carré Matrices :

Pour les matrices carrées, mldivide diagnostique la matrice et sélectionne l'algorithme approprié en fonction de son caractéristiques :

• Matrices triangulaires (inférieures ou supérieures) : La substitution avant ou arrière est effectuée directement.
• Matrices définies positives symétriques : La décomposition de Cholesky est utilisée pour une solution plus rapide et plus stable.
• Place générale Matrices : La décomposition LU est utilisée pour une combinaison de substitutions avant et arrière.

Cas particuliers :

• Si A est singulier ou rectangulaire, la méthode pseudoinverse (pinv) peut être utilisée pour une solution des moindres carrés de norme minimale.
• Pour les matrices clairsemées, MATLAB utilise des solveurs itératifs et des bibliothèques externes comme UMFPACK.
• Pour les calculs sur GPU, mldivide exploite cuBLAS et MAGMA.
• Pour les tableaux distribués, ScaLAPACK est utilisé pour résoudre des systèmes linéaires dans un environnement informatique distribué.

Mise en œuvre mldivide :

Implémenter toutes les fonctionnalités de mldivide dans une bibliothèque matricielle personnalisée serait un effort important. Cependant, en comprenant les algorithmes sous-jacents et en utilisant des bibliothèques existantes pour des types de matrices spécifiques (par exemple, LAPACK pour les matrices denses, des solveurs itératifs pour les matrices clairsemées), il est possible de créer un solveur raisonnablement efficace et polyvalent pour les systèmes linéaires.

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