Voici quelques options de titre, basées sur le contenu de votre article : Focus sur l'efficacité : * Comment calculer efficacement (a^b)%MOD pour les grands exposants * Optimisation des calculs (a^b)%MOD : A Log(b) Ti

Calcul de (a^b)%MOD avec de grands exposants

En programmation informatique, le problème du calcul de (a^b)%MOD se produit lorsque nous devons trouver le reste en élevant un nombre « a » à un grand exposant « b », modulo une constante fixe « MOD ». Il s'agit d'une tâche courante dans diverses applications cryptographiques et calculs mathématiques.

Méthode de complexité temporelle Log(b)

Une approche naïve de ce problème consiste à utiliser la méthode intégrée dans la fonction pow() en C , qui calcule a à la puissance b en utilisant l'algorithme de multiplication. Cependant, cette méthode devient inefficace lorsque « b » est grand, car elle prend un temps O(b).

Théorème d'Euler

Une approche plus efficace consiste à utiliser le théorème d'Euler , qui indique que pour tout entier 'a' et un module premier 'p', a^p mod p = a^(p-1) mod p. Par extension, cela peut être généralisé à n'importe quel entier positif 'MOD' en utilisant la fonction totient d'Euler φ(MOD).

Fonction totient d'Euler

La fonction totient d'Euler compte le nombre d'entiers positifs inférieurs à 'MOD' qui sont premiers avec 'MOD'. Il peut être calculé efficacement en utilisant la factorisation première de 'MOD'.

Calcul de (a^b)%MOD avec de grands exposants

Combinaison du théorème d'Euler et du totient d'Euler fonction, nous pouvons calculer efficacement (a^b)%MOD pour les grands exposants.

1. Calculez la fonction totale φ(MOD).
2. Calculez (a ^ φ(MOD)% MOD).
3. Calculer (a ^ (b % φ(MOD)) %MOD).

Cette approche réduit la complexité temporelle à O(log(φ(MOD)) ) et permet de gérer les exposants qui ne peuvent pas rentrer dans un type de données "long long".

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