当相机仅绕光轴（如水平平移旋转）做纯旋转时，两幅图像间的单应矩阵 h 可通过相机内参矩阵 k 与两次旋转矩阵的复合变换精确推导，关键在于正确应用相似变换链 $ h = k \, r_2 r_1^\top k^{-1} $，而非简化为归一化旋转子块。
当相机仅绕光轴（如水平平移旋转）做纯旋转时，两幅图像间的单应矩阵 h 可通过相机内参矩阵 k 与两次旋转矩阵的复合变换精确推导，关键在于正确应用相似变换链 $ h = k \, r_2 r_1^\top k^{-1} $，而非简化为归一化旋转子块。
在相机仅发生刚性旋转（无平移、无缩放、Z=0 平面场景）的理想条件下，两幅图像间的几何关系由单应性（homography）完全刻画。此时，若第一帧对应世界坐标系下的旋转为 $ R_1 $，第二帧为 $ R_2 $，且相机内参矩阵为对角形式 $ K = \operatorname{diag}(f, f, 1) $，则从第一帧到第二帧的像素坐标映射满足：
$$ \mathbf{x}_2 \sim H \, \mathbf{x}_1, \quad \text{其中} \quad H = K \, R_2 R_1^\top K^{-1} $$
该公式源于标准针孔投影模型的严格推导：设世界点 $ \mathbf{X} = [X,Y,0,1]^\top $ 位于 Z=0 平面，则其在第 i 帧的投影为
$$
\mathbf{x}_i \sim K \, R_i \, [\mathbf{I} \mid \mathbf{0}] \, \mathbf{X} = K \, R_i^{(1:3,1:2)} \begin{bmatrix} X \ Y \end{bmatrix} + K \, R_i^{(1:3,3)}
$$
由于平移项 $ \mathbf{t} = \mathbf{0} $（纯旋转），且 Z=0，第三列 $ R_i^{(:,3)} $ 实际贡献于仿射偏移；而两帧间变换需消去共用平面约束，最终导出上述相似变换形式。
值得注意的是，常见误区是直接使用归一化旋转差 $ R_2 R_1^\top $ 并手动补零或缩放——例如误认为：
# ❌ 错误做法：仅归一化左上 2×2 块 + 猜测平移项 R_diff = R2 @ R1.T R_norm = R_diff / R_diff[2, 2] H_wrong = np.eye(3) H_wrong[:2, :2] = R_norm[:2, :2] H_wrong[2, :2] = R_norm[2, :2] / f # 无理论依据
这会导致 $ H{0,2} $、$ H{1,2} $ 严重失准（如问题中误差达 ~0.17 vs 正确值 17.34），因忽略了 $ K $ 对第三列的非平凡缩放作用。
✅ 正确实现应完整执行矩阵相似变换：
import numpy as np
import cv2
# 给定参数
f = 400.0
K = np.diag([f, f, 1.0])
K_inv = np.linalg.inv(K)
# 示例：pan=10° → R1, pan=15° → R2（仅绕Z轴，即纯水平旋转）
from scipy.spatial.transform import Rotation as R
R1 = R.from_euler('z', 10 * np.pi/180).as_matrix()
R2 = R.from_euler('z', 15 * np.pi/180).as_matrix()
# ✅ 精确单应矩阵（纯旋转 + Z=0 平面）
H = K @ R2 @ R1.T @ K_inv
H /= H[2, 2] # 齐次归一化，确保 H[2,2] == 1.0
print("Exact H (pure rotation):")
print(np.round(H, 6))
输出将与 cv2.findHomography 在理想数据上拟合结果高度一致（通常误差 {0,2} $ 和 $ H{1,2} $ 并非可忽略的“小量”，而是由 $ K \, (R_2 R_1^\top) \, K^{-1} $ 的完整第三列决定——它们表征旋转引起的图像中心偏移，在大视场或高焦距下尤为显著。
? 关键注意事项：
- 该公式严格成立的前提是：相机中心不动（无平移）、场景为单一平面（Z=0）、镜头无畸变；
- 若存在微小平移或平面倾斜，需改用基于基础矩阵或全自由度单应估计（如
cv2.findHomography配合 RANSAC）； - 实际应用中，建议始终用
H /= H[2,2]归一化，保证齐次坐标的规范性； - 当旋转含俯仰（tilt）或翻滚（roll）时，只要仍满足纯旋转+平面假设，公式依然适用——只需确保 $ R_1 $、$ R_2 $ 是同一世界坐标系下的完整姿态。
综上，纯旋转下的单应计算本质是内参引导的旋转相似变换，拒绝任何“经验补丁”。坚持 $ H = K R_2 R1^\top K^{-1} $ 这一闭环表达，即可稳健获得全部 9 个元素，包括常被误判的平移相关项 $ H{0,2} $ 与 $ H_{1,2} $。
