本文介绍如何使用 SciPy 的 milp 求解器，构建整数线性规划模型，精确计算 7 天的每日权重，使其严格递减、和为 7，并确保恰好 7 个用户的加权平均消费值低于指定阈值（如 11）。
本文介绍如何使用 scipy 的 `milp` 求解器，构建整数线性规划模型，精确计算 7 天的每日权重，使其严格递减、和为 7，并确保**恰好 7 个用户**的加权平均消费值低于指定阈值（如 11）。
在时间序列加权分析中，仅靠指数衰减等启发式方法难以同时满足严格单调性、固定和约束与精确达标数量控制（如“恰好 7/10 用户低于阈值”）三大条件。此时，传统优化手段失效，需转向混合整数线性规划（MILP）——它能通过引入二元决策变量（binary predicates），将逻辑条件（如“加权均值 ≤ 阈值？”）转化为可求解的线性约束。
以下为完整实现流程（基于 scipy.optimize.milp）：
✅ 核心建模要素
-
决策变量：
-
w₀, w₋₁, ..., w₋₆：7 个连续型权重（要求w₀ > w₋₁ > ... > w₋₆ > 0）； -
pᵢ ∈ {0,1}（i = 0..9）：10 个二元变量，pᵢ = 1表示第 i 个用户的加权均值 ≤ 阈值。
-
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关键约束：
-
和约束：
∑wⱼ = 7； -
严格递减：
wⱼ − wⱼ₊₁ ≥ ε（ε = 1e-2，避免数值相等）； -
阈值逻辑（大M法）：
- 若
pᵢ = 1→(w·df[i]) / 7 ≤ threshold； - 若
pᵢ = 0→(w·df[i]) / 7 > threshold；
等价于：w·df[i] + M·pᵢ ≤ M + 7·threshold（上界）w·df[i] + M·pᵢ ≥ 7·threshold（下界）
其中M取足够大值（如2 * max(row_sum)）；
- 若
-
精确计数：
∑pᵢ = 7。
-
和约束：
? 示例代码（精确解）
import numpy as np
import pandas as pd
from scipy.optimize import milp, LinearConstraint, Bounds
import scipy.sparse
# 构造示例数据（10用户 × 7天）
df = pd.DataFrame({
'day_0': [10,10,10,12,12,13,8,13,8,14],
'day_-1': [10,13,12,12,13,9,9,10,8,13],
'day_-2': [14,11,9,9,8,8,8,14,10,13],
'day_-3': [8,11,12,11,12,13,14,12,12,9],
'day_-4': [14,8,9,9,8,9,8,8,11,11],
'day_-5': [14,10,10,12,11,12,13,9,14,14],
'day_-6': [14,10,10,13,9,10,14,11,14,13]
}, index=range(10))
df.columns = [0, -1, -2, -3, -4, -5, -6] # 统一列名为整数天数
m, n = df.shape # m=10 users, n=7 days
threshold = 11
n_up_to_threshold = 7 # 恰好7人满足
M = 2 * df.sum(axis=1).max() # 大M值
# === 约束定义 ===
# 1. 权重和为7
sum_con = LinearConstraint(
A=np.concatenate([np.ones(n), np.zeros(m)]),
lb=7, ub=7
)
# 2. 严格递减（w_j - w_{j+1} >= 1e-2）
dec_con = LinearConstraint(
A=scipy.sparse.diags_array(
(np.ones(n-1), -np.ones(n-1)), offsets=(0,1), shape=(n-1, n+m)
),
lb=1e-2
)
# 3. 阈值逻辑约束（大M法）
A_thresh = scipy.sparse.hstack([
scipy.sparse.csr_matrix(df.values), # w·df[i]
scipy.sparse.diags(M * np.ones(m)) # + M·p_i
], format='csc')
thresh_con = LinearConstraint(
A=A_thresh,
lb=7*threshold * np.ones(m),
ub=M + 7*threshold * np.ones(m)
)
# 4. 精确计数：sum(p_i) = 7
count_con = LinearConstraint(
A=np.concatenate([np.zeros(n), np.ones(m)]),
lb=n_up_to_threshold, ub=n_up_to_threshold
)
# === 变量边界 ===
bounds = Bounds(
lb=np.concatenate([np.full(n, 1e-3), np.zeros(m)]),
ub=np.concatenate([np.full(n, np.inf), np.ones(m)])
)
# === 求解（无目标函数，仅可行性）===
result = milp(
c=np.zeros(n + m),
integrality=np.concatenate([np.zeros(n), np.ones(m, dtype=int)]),
bounds=bounds,
constraints=[sum_con, dec_con, thresh_con, count_con]
)
if not result.success:
raise RuntimeError(f"Optimization failed: {result.message}")
weights, preds = result.x[:n], result.x[n:]
means = df @ (weights / 7)
print("✅ 求解成功！")
print(f"每日权重 w₀..w₋₆ = {weights.round(4)}")
print(f"达标用户标识 p₀..p₉ = {preds.astype(int)} → 共{int(preds.sum())}人")
print(f"各用户加权均值:\n{means.round(4)}")
⚠️ 注意事项与进阶建议
-
数值稳定性：严格不等式
>在 LP 中需用≥ ε近似，ε过小易导致数值误差，建议1e-3 ~ 1e-2； -
大M值选择：
M过大会削弱约束紧致性，应取理论最大可能值（如2 * max(sum(row))）； -
无解处理：若
milp返回success=False，说明约束冲突（如阈值过低且要求过高达标数），可尝试：- 放宽阈值（软约束法，见答案第二部分）；
- 增加最小权重下限；
- 检查数据是否存在极端离群值；
- 软约束扩展：当精确阈值不可行时，可将阈值设为变量并最小化其与目标值（如12）的绝对偏差，实现“近似达标”。
该方法将业务规则精准编码为数学约束，避免启发式调参，是金融风控、动态权重分配等场景的可靠基础工具。
