本文讲解如何安全计算前 n 个正整数的乘积（即 n!）并对 10⁹+7 取模，避免中间结果整型溢出导致错误答案。核心策略是在每次乘法后立即取模，而非最后统一取模。
本文讲解如何安全计算前 n 个正整数的乘积（即 n!）并对 10⁹+7 取模，避免中间结果整型溢出导致错误答案。核心策略是在每次乘法后立即取模，而非最后统一取模。
在解决阶乘类问题（如“求前 n 个自然数的乘积”）并要求对大质数（如 $10^9+7$）取模时，一个常见错误是先完整计算 $n!$ 再取模：
long ans = 1;
for (int i = 1; i <p>即使 n 仅达 25，25! ≈ 1.55×10²⁵ 已远超 long 的最大值（Long.MAX_VALUE = 9,223,372,036,854,775,807），导致<strong>静默整数溢出</strong>——结果错误但无异常，最终取模结果完全不可信。</p><p>✅ 正确做法：<strong>每一步乘法后立即取模</strong>，利用模运算的分配律：
$$
(a \times b) \bmod p = \big((a \bmod p) \times (b \bmod p)\big) \bmod p
$$</p><p>推荐实现（简洁高效，适用于绝大多数场景）：</p><div class="aritcle_card flexRow artxards">
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</div><pre class="brush:php;toolbar:false;">public static long factorialMod(int n, long MOD) {
long ans = 1;
for (int i = 1; i <p>⚠️ 注意事项：</p>
- 起始值与循环范围需一致：若从 i = 1 开始，则循环应为 i
- MOD 必须定义为 long 类型（如 1000000007L），否则 ans * i 中 i 是 int，可能触发 int 乘法溢出（尤其当 ans > Integer.MAX_VALUE / i）。
- 无需额外 ans % MOD 和 i % MOD 双重取模：因 i
- 若 n ≥ MOD（极罕见），根据威尔逊定理，n! % MOD == 0（因 MOD 为质数且必为某因子），可提前剪枝，但常规题目中 n 远小于 10^9+7。
? 总结：模意义下的连乘，“边乘边模”是防止溢出的黄金准则。它不仅保障数值安全，还保持时间复杂度 $O(n)$ 不变，是算法竞赛与工程实践中必须掌握的基础技巧。
