三角形数是形如k(k+1)/2（k为正整数）的正整数，如1、3、6、10、15；判定时需验证判别式1+8n是否为完全平方数且其平方根为奇数，再通过整数校验避免浮点误差。
什么是三角形数？先看代数判定公式
一个正整数 n 是三角形数，当且仅当存在某个正整数 k，使得 n = k * (k + 1) / 2。把这个式子变形：解关于 k 的二次方程 k² + k − 2n = 0，判别式为 Δ = 1 + 8 * n。所以只需判断 sqrt(1 + 8 * n) 是否为整数，且该整数减 1 后能被 2 整除。
实操时要注意浮点精度问题：直接用 sqrt 返回 double，再转 long long 可能出错。稳妥做法是计算 root = round(sqrt(1 + 8.0 * n))，再验证 root * root == 1 + 8 * n 且 (root - 1) % 2 == 0。
- 推荐写法：
long long disc = 1 + 8LL * n;（防int溢出） - 避免写
sqrt(1 + 8 * n)—— 若n较大，8 * n可能溢出int -
round()比floor()或强制截断更安全，尤其对接近整数的浮点结果
迭代法怎么写？边界和提前退出很关键
迭代就是从 k = 1 开始试，算 k * (k + 1) / 2，直到结果 ≥ n。看起来简单，但容易忽略两个坑：一是 k * (k + 1) 在循环中可能溢出；二是没及时 break 导致无谓循环。
正确做法是把乘法改写为加法递推：设 tri = 1（对应 k = 1），每次做 tri += ++k，这样既避免乘法溢出，又天然控制 k 增长节奏。
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- 初始值：
long long tri = 1; int k = 1; - 循环条件用
tri ，而非 <code>tri ，否则多算一轮 - 一旦
tri == n就返回 true；若tri > n且还在增长，说明不是三角形数 - 不建议用
for (int k = 1; ; ++k)配break—— 容易漏写退出逻辑
代数法 vs 迭代法：性能和适用场景差异
代数法是 O(1)，但涉及浮点开方和取整，对极小的 n（比如 n ）未必比迭代快；迭代法最坏 <code>O(√n)，但常数小、无浮点误差，且内存零开销。
实际选型要看场景：
- 单次判断、
n可能上亿 → 代数法更稳，只要处理好溢出和精度 - 批量判断同一组小数值（如
n ），或嵌入资源受限环境（无 <code>sqrt）→ 迭代法更可靠 - 需要同时返回对应的
k（即第几个三角形数）→ 代数法可直接算出k = (root - 1) / 2；迭代法自然得到k - 编译器未启用
-ffast-math时，sqrt可能比预期慢，这点容易被忽略
一个容易被忽略的边界：n = 1 和溢出检查
n = 1 是合法三角形数（k = 1），但代数法中 1 + 8 * n = 9，sqrt(9) = 3，(3 - 1) % 2 == 0 成立 —— 这没问题。真正危险的是 n 接近 INT_MAX 时的中间计算。
例如在 32 位 int 环境下，n = 200000000 时，8 * n = 1600000000 已接近 INT_MAX（约 2147483647），再加 1 就可能溢出。所以必须用 long long 存储判别式。
- 错误示范：
int disc = 1 + 8 * n;→ 即使n是long long，8 * n若按int算会先溢出 - 正确写法：
auto disc = 1LL + 8LL * static_cast<long long>(n);</long> - 如果输入类型不确定，优先提升到足够大的整型再运算，别依赖隐式转换
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