C++如何判断正整数是否为史密斯数(Smith-Number数学判定法)

阿瑶小哥_9654

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2026-07-03

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史密斯数必须是合数且各位数字和等于其质因数各位数字之和;函数需先判断合数(排除1和质数),再分解质因数并展开重复因子求数字和,注意digitsum处理非负整数。

c++如何判断正整数是否为史密斯数(smith-number数学判定法)

不是所有数字和相等的合数都是史密斯数,但所有史密斯数必须是合数且满足数字和相等——漏掉「合数判断」就直接误判质数(比如13、17)。

isSmithNumber() 必须先做合数判断

史密斯数定义明确排除质数和1,所以函数开头不能只写 if (n 就完事。这个条件能拦住1、2、3,但对5、7、11等质数无效。

  • 正确做法:先用 is_composite(n) 或内联逻辑判断是否为合数——即 n > 1 且存在某个 i ∈ [2, √n] 满足 n % i == 0
  • 别复用 is_prime() 取反,容易把1当成合数(1既非质也非合)
  • 小值特判可简化:if (n ,然后直接试除到 <code>sqrt(n),若没找到因子且 n > 1,说明是质数 → 返回 false

质因数分解时要展开重复因子并累加 digitSum

比如 8 = 2 × 2 × 2,得调用三次 digitSum(2),而不是只算一次;又如 9 = 3 × 3,也要加两次 digitSum(3)。常见错误是把因子集合当成了因子列表。

C++14
C++14

C++14 对 C++11 的修正与增强版本,适合旧系统维护和较老工具链兼容。

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  • 循环从 i = 2 开始,条件写成 i * i ,避免浮点 <code>sqrt() 带来的精度问题
  • 每进入一次 while (temp % i == 0),就执行 sumPrimeDigits += digitSum(i); temp /= i;
  • 循环结束后若 temp > 1,说明剩下一个未被试除到的大质因数,必须再加一次 digitSum(temp)
  • 别用 std::vector 存因子——没必要,还多一次遍历

digitSum() 要处理 0 和避免负数陷阱

digitSum(-27) 在某些编译器下 -27 % 10 是 -7,导致结果错误。史密斯数只定义在正整数上,但函数健壮性要求输入非负。

  • 统一用 int digitSum(int x) { x = x
  • digitSum(0) 必须返回 0 ——虽然史密斯数不包含 0,但防止后续逻辑传入异常值
  • 不要用 std::to_string:开销大、依赖 locale、且对 0 的处理不如取模直观

int 溢出风险:i * i

当 temp 接近 INT_MAX(约 2.1e9)时,i 到 46340 左右,i * i 就会溢出成负数,导致循环失控。

  • 安全写法:改用 i ,整除无溢出
  • 或升为 long long i,但注意 temp 仍是 int,需同步转类型
  • 如果输入可能达 10⁹ 级别,建议整个函数参数用 long long,并把循环变量也声明为 long long
  • 别信「我只测小数」——线上环境输入不可控,边界不稳等于逻辑不稳

最常被跳过的其实是「合数判定」和「残留大质因数」这两步,它们不出现在样例 4、22、27 里,却在 58(=2×29)、121(=11×11)这类数上暴露问题。写完先拿 13、17、97 这些质数过一遍,再试 1、0、负数,基本就能避开 80% 的坑。

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