C++如何判断一个正整数是否为史密斯数-C++-PHP中文网

史密斯数是合数，且其各位数字之和等于所有质因数（含重复）的各位数字之和；例如27=3×3×3，数字和均为9，故为史密斯数。

c++如何判断一个正整数是否为史密斯数

什么是史密斯数？先看判定逻辑

史密斯数不是质数，但它的各位数字之和等于它所有质因数（含重复）的各位数字之和。比如 27：

数字和是 2 + 7 = 9
质因数分解为 3 × 3 × 3，质因数数字和是 3 + 3 + 3 = 9
它不是质数（27 可被 3 整除），所以 27 是史密斯数

关键点有三个：

必须是合数（即非质数且 > 1）
各位数字之和要等于其质因数（每个都拆开算各位）的数字和
质因数要按重数展开，比如 4 = 2 × 2，就得算两个 2，不能只算一次

怎么写一个靠谱的 isSmith(int n) 函数

直接上核心逻辑，不绕弯：

先排除 n 、质数、以及个位数（<code>2~9 都不是史密斯数，因为它们全是质数或 1）
写一个辅助函数 digitSum(int x)，返回 x 的各位数字和（对 x % 10 循环取余即可）
写一个质因数分解循环：从 i = 2 开始试除，每次把 i 的所有因子除尽，并把 i 加入质因数列表（或直接累加它的 digitSum(i)）
注意：如果最后剩下一个 > 1 的数（比如 n = 25 除完 5 后剩 5），它本身也是质因数，要计入

常见错误：

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忘记判断是否为质数，直接对质数算——结果会误判（如 13 数字和是 4，质因数只有 13，数字和也是 4，但它不是合数，不能算史密斯数）
质因数分解时没处理剩余大质数（比如 97 这种，试到 sqrt(n) 就停，漏掉它自己）
把 digitSum 写成只处理正数，但输入保证是正整数，这点倒不用额外检查

一个轻量、可验证的实现示例

int digitSum(int x) {
    int s = 0;
    while (x) {
        s += x % 10;
        x /= 10;
    }
    return s;
}
<p>bool isPrime(int n) {
if (n </p><p>bool isSmith(int n) {
if (n  1) sumFactors += digitSum(temp); // 剩余大质数
return sumDigits == sumFactors;
}</p>

注意几个边界：

isSmith(4) → digitSum(4)=4，质因数是 2×2，digitSum(2)+digitSum(2)=4，返回 true
isSmith(1)、isSmith(2)、isSmith(3) 都返回 false
isSmith(378) 是经典例子（2×3×3×3×7，数字和 3+7+8=18，质因数数字和 2+3+3+3+7=18）

性能与可扩展性提醒

这个实现对 n ≤ 10⁶ 没问题，但若频繁调用或 n 达到 10⁹ 级别，要注意：

isPrime 在 isSmith 里其实冗余了——我们已经在分解质因数，完全可以通过“是否只被自己整除过一次”来间接判断是否为质数，但为清晰起见，单独写更易 debug
digitSum 可以用查表法加速（最多 10 位，预存 0~9999 的数字和），但对单次判断意义不大
如果批量判断，建议预筛出质数表（如埃氏筛），再复用质因数分解逻辑，避免重复计算

最常被忽略的一点：史密斯数定义明确要求“合数”，而很多人只比数字和，忘了先过 isPrime 这关。哪怕数字和相等，只要 n 是质数，就不是史密斯数。