C++如何判断一个正整数是否为三角数(通过数学判定公式)-C++-PHP中文网

一个正整数 n 是三角数当且仅当 1 + 8n 是完全平方数且其平方根为奇数；需用 round + 验证 root*root == delta 规避浮点误差，并检查 root 是否为奇数。

c++如何判断一个正整数是否为三角数(通过数学判定公式)

三角数的数学判定公式是什么

一个正整数 n 是三角数，当且仅当存在正整数 k，使得 n = k * (k + 1) / 2。把这式子变形，解出 k：两边乘 2 得 2n = k² + k，移项得 k² + k - 2n = 0。这是关于 k 的一元二次方程，判别式为 Δ = 1 + 8 * n。所以 k 有正整数解 ⇔ Δ 是完全平方数，且 sqrt(Δ) 是奇数（因为 k = (-1 + sqrt(Δ)) / 2 必须为正整数）。

用 `sqrt` 判定是否为完全平方数的坑

C++ 的 std::sqrt 返回 double，浮点误差可能导致误判。比如对大整数（如接近 LLONG_MAX 的值），sqrt(x) 可能略小于真实平方根，取整后错失一个单位。

先计算 delta = 1 + 8LL * n（注意用 long long 防溢出）
算 root = static_cast<long long>(std::round(std::sqrt(delta)))</long>，比直接 floor 或 cast 更稳妥
再验证 root * root == delta，而不是只信 sqrt 的返回值
若成立，再检查 (root - 1) % 2 == 0（即 root 为奇数），才能保证 k 是正整数

完整可复用的 C++ 函数

以下函数接受 unsigned long long，覆盖常见正整数范围，返回 true 当且仅当输入是三角数：

C++14

C++14 对 C++11 的修正与增强版本，适合旧系统维护和较老工具链兼容。

下载

#include <cmath>
#include <climits><p>bool isTriangular(unsigned long long n) {
if (n == 0) return false; // 正整数前提
unsigned long long delta = 1ULL + 8ULL <em> n;
unsigned long long root = static_cast<unsigned long>(std::round(std::sqrt(static_cast<double>(delta))));
if (root > 3037000499ULL) return false; // sqrt(ULL_MAX) ≈ 4.29e9，但 double 精度在 2^53 后失效；此上限保 double 表达准确
if (root </double></unsigned></em> root != delta) return false;
return (root & 1) == 1; // root 是奇数
}</p></climits></cmath>

注意：root 上限判断是为了规避 double 对超大整数开方失真——当 delta > 2^53 时，double 无法精确表示所有整数，sqrt 结果可能偏差 1。实际项目中若需支持 >1e15 的数，应改用整数二分求平方根。