有符号整数取值范围为$[-2^{n-1},\; 2^{n-1}-1]$，无符号整数为$[0,\; 2^n-1]$；前者最高位为符号位、采用补码，后者所有位表数值，二者总取值个数均为$2^n$。

基本数据类型取值范围的公式，关键在于区分有符号（signed）和无符号（unsigned）两种情况，并不是简单套用 $2^{n-1}$ 或 $2^{n-1}-1$ 就能通用。

有符号整数的取值范围

对于 n 位有符号整数（如 int8、int16），最高位是符号位，剩余 $n-1$ 位表示数值。采用补码表示法时：

• 最小值是 $-2^{n-1}$（例如 int8：$-2^7 = -128$）
• 最大值是 $2^{n-1} - 1$（例如 int8：$2^7 - 1 = 127$）
• 所以完整范围是 $[-2^{n-1},\; 2^{n-1} - 1]$

无符号整数的取值范围

对于 n 位无符号整数（如 uint8、uint16），所有位都用于表示数值，没有符号位：

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• 最小值恒为 0
• 最大值是 $2^n - 1$（例如 uint8：$2^8 - 1 = 255$）
• 所以完整范围是 $[0,\; 2^n - 1]$

为什么容易混淆这两个公式

常见误区是把有符号类型的“最大值”公式 $2^{n-1} - 1$ 错当成通用规则，忽略了最小值的负向扩展，也未区分无符号类型中 $2^n - 1$ 的逻辑。补码机制决定了正负数不对称——多出一个负数（比如 int8 能表示 -128，但不能表示 +128）。

实际编程中的检查建议

写代码时别靠心算，优先使用语言内置常量：

• C/C++：查 （如 INT8_MIN、UINT16_MAX）
• Java：用 Byte.MIN_VALUE、Short.MAX_VALUE 等静态字段
• Python 虽无原生固定位宽类型，但 numpy 中如 np.int32 可用 iinfo 查询