完全数是等于其所有真因子（小于自身的正因数）之和的正整数，如6=1+2+3；不能只加到n/2，因为真因子可能成对出现，较大因子（如28的7）可超过n/2，需遍历至√n并配对查找。
什么是完全数，以及为什么不能只加到 n/2
完全数是指一个正整数等于它所有**真因子**（即小于它自身的正因数）之和。比如 6 的真因子是 1、2、3，加起来正好是 6，所以它是完全数。
很多人第一反应是遍历 1 到 n-1 或 n/2 来找因子，但要注意：n/2 虽然能覆盖大部分情况，却漏掉了 n 本身不是因子、但 sqrt(n) 附近可能成对出现因子的关键逻辑——比如 28 的因子有 4 和 7，而 7 > 28/2（即 14），但 4 。所以只扫到 <code>n/2 不仅低效，还容易写错边界。
高效判断：只遍历到 sqrt(n) 并成对收集因子
核心思路是利用因子成对出现的性质：若 i 是 n 的因子，且 i ，那么 <code>n/i 也是因子（且通常 > sqrt(n)）。这样可以把时间复杂度从 O(n) 降到 O(sqrt(n))。
实操注意点：
- 从
i = 1开始循环，上限设为(int)sqrt(n)（别用i * i 防止溢出，尤其对大 <code>int） - 每次找到因子
i后，检查i != n/i：避免把完全平方数的平方根重复加两次（如36的因子6只算一次） - 跳过
i == n—— 真因子定义排除自身；也跳过i == 1？不，1必须计入（它是所有 >1 整数的真因子） - 累加时只加真因子：即
i（只要i != n）和n/i（只要n/i != n且n/i != i）
示例代码片段（关键逻辑）：
bool isPerfect(int n) {
if (n 1 时）
int limit = static_cast<int>(sqrt(n));
for (int i = 2; i <h3>常见错误现象和边界坑</h3>
<p>实际写的时候，这几个地方最容易出错：</p>
<ul>
<li>
<code>n == 1</code>：没有真因子，和为 0 ≠ 1 → 应直接返回 <code>false</code>
</li>
<li>
<code>n == 2</code>：真因子只有 <code>1</code>，和为 1 ≠ 2 → <code>false</code>，但有人误以为“偶数都行”</li>
<li>忘记排除 <code>n</code> 自身：比如在循环里加了 <code>n/i</code> 却没检查 <code>n/i == n</code>（当 <code>i == 1</code> 时，<code>n/i == n</code>，必须跳过）</li>
<li>
<code>sqrt(n)</code> 的类型截断：用 <code>int sqrt_n = sqrt(n)</code> 可能因浮点精度丢掉 1，建议用 <code>int limit = sqrt(n) + 1e-9;</code> 或更稳妥地用 <code>i * i （但注意 <code>i</code> 大时 <code>i*i</code> 溢出，此时应改用 <code>long long i</code> 或先转 <code>long long</code> 比较）</code>
</li>
<li>没处理 <code>i == 1</code> 单独提前提前加了 <code>1</code>，结果循环又从 <code>2</code> 开始，逻辑才干净</li>
</ul>
<h3>C++ 中 <code>int</code> 范围与已知完全数的现实约束</h3>
<p>目前已知的偶完全数都形如 <code>2^(p−1) × (2^p − 1)</code>，其中 <code>2^p − 1</code> 是梅森素数。前几个是 <code>6</code>、<code>28</code>、<code>496</code>、<code>8128</code>、<code>33550336</code>……注意 <code>33550336</code> 已超过 <code>16777215</code>（2^24−1），但仍在 <code>int</code>（通常 32 位，上限约 2.1e9）范围内；下一个完全数就远超 <code>int</code> 了。</p>
<p>所以如果你用 <code>int</code> 当参数，函数对 <code>n > 33550336</code> 的输入即使逻辑正确，也可能因溢出或效率问题无法实用。真要验证更大的数，得换 <code>long long</code>、配大数库，或直接查表——毕竟已知完全数极少，且全是偶数（奇完全数是否存在仍是未解数学问题）。</p>
<p>真正难的不是算法，而是意识到：这个函数本质上只对极小范围的输入有意义，其余都是理论练习。写的时候别在边界上死磕，优先保证 <code>6</code>、<code>28</code>、<code>496</code>、<code>8128</code> 四个经典值全过，再看是否值得拓展。</p></int>C++免费学习笔记（深入）：立即使用
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