三角数是形如n(n+1)/2的正整数（如1、3、6、10……）；循环暴力判定最坏需o(√x)次迭代，对大数（如1e12）太慢；高效方法是解n²+n−2x=0，验证(−1+√(1+8x))/2是否为正整数，并用整数平方校验避免浮点精度误差。
什么是三角数，以及为什么不能用循环暴力判断
三角数是形如 n*(n+1)/2 的数（n 为正整数），比如 1、3、6、10、15……。如果用循环从 1 开始试算 i*(i+1)/2 直到 ≥ 目标值，最坏情况要迭代 O(√x) 次——对大整数（如 1e12）明显太慢。
真正高效的判定，是把问题反解：给定 x，是否存在正整数 n，使得 n*(n+1)/2 == x？整理得二次方程：n² + n − 2x = 0。解为 n = (−1 + √(1 + 8x)) / 2。只要这个结果是正整数，x 就是三角数。
用 sqrt 判定时必须处理浮点精度陷阱
double 的 sqrt 在大整数（如 > 2⁵³）上会丢失精度，导致 round 或 floor 出错。例如 x = 9999999999999999 时，sqrt(1+8*x) 可能返回略小或略大的值，直接转 int 就错。
- 先用
std::sqrt算出近似根root，再取long long r = std::llround(root) - 但必须验证：只接受满足
r*r == 1+8*x的r（用整数运算校验，不依赖浮点） - 然后检查
(r - 1) % 2 == 0且(r - 1) / 2 > 0，确保n是正整数
C++ 实现：安全、无分支、单次 sqrt
下面函数返回 true 当且仅当 x 是三角数：
bool isTriangular(long long x) {
if (x = 0 && s * s == disc) {
return (s - 1) % 2 == 0 && (s - 1) / 2 > 0;
}
}
return false;
}
关键点：
- 不依赖
sqrt的绝对精度，而是用整数平方校验 - 只做一次
sqrt，再在 ±1 范围内穷举——实际几乎总在第一次就命中 - 避免
sqrt对负数或溢出输入未定义行为（disc必须 ≥ 0，而x ≥ 1保证这点）
边界与性能注意点
对 long long 范围内的输入，disc = 1 + 8*x 最大可达约 8e18，仍在 double 可精确表示的整数范围内（≤ 2⁵³ ≈ 9e15）——但接近上限时已有风险。更稳妥的做法是用 std::sqrtl（long double 版本），或引入整数开方（如牛顿法），但绝大多数场景下上述 ±1 校验已足够健壮。
真正容易被忽略的是：x=0 和负数要提前排除；x=1 必须返回 true；而 disc 为完全平方数只是必要条件，还需确认 (r−1) 是偶数且为正——漏掉任一条件都会误判。
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