C++如何判断一个数是否为史密斯数(Smith Number)

秋强同学_4440

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2026-06-11

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史密斯数是合数,其各位数字之和等于其质因数分解中所有质因数(含重复)的各位数字之和;例如27=3×3×3,2+7=3+3+3=9,故27是史密斯数;质数和1均不符合定义。

c++如何判断一个数是否为史密斯数(smith number)

什么是史密斯数?先看判定逻辑

一个合数 n 是史密斯数,当且仅当它各位数字之和等于其所有质因数(含重复)的各位数字之和。注意:质数不算史密斯数,1 也不是——必须是合数。

比如 27:各位和是 2 + 7 = 9;质因数分解为 3 × 3 × 3,质因数数字和是 3 + 3 + 3 = 9,所以是史密斯数。而 13 是质数,直接排除。

怎么写 digitSum() 才不漏掉前导零或负数?

这个辅助函数要稳健处理任意整数输入,尤其避免把 0 当空、或对负数取模出错。

  • 用 abs(n) 统一转正,再逐位取模:n % 10,然后 n /= 10
  • 特别处理 n == 0 的情况——直接返回 0,否则循环进不去
  • 别用字符串转换(如 to_string),在嵌入式或竞赛环境下可能带来隐式开销

示例:digitSum(100) 必须返回 1,不是 100 字符串长度。

C++14
C++14

C++14 对 C++11 的修正与增强版本,适合旧系统维护和较老工具链兼容。

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质因数分解时,i 循环到 sqrt(n) 还是 n?

必须只循环到 sqrt(n),否则超时(比如判断 10^9 级别的数)。但要注意残留的大于 sqrt(n) 的质因数。

  • 从 i = 2 开始试除,每次除尽就累加 digitSum(i)
  • 循环结束后若 n > 1,说明剩下一个质因数(就是当前的 n),再加一次 digitSum(n)
  • 别忘了跳过质数判断——史密斯数要求合数,所以如果原数 n 最终只剩自己且没被除过(即未进入循环),说明它是质数,直接返回 false

常见错误:漏掉最后那个大质因数,导致质因数数字和偏小,误判成史密斯数。

isSmith(int n) 函数里最容易忽略的边界条件

很多实现能跑通样例但在线评测 WA,往往栽在这些地方:

  • n 或 <code>n 是质数 → 直接返回 false,不能只靠质因数和相等就放行
  • 质因数分解过程中,重复质因数要全部计入(比如 8 = 2×2×2,得加三次 digitSum(2))
  • 用 int 存 n 没问题,但中间计算如 digitSum 不会溢出;不过若扩展到大数,需改用 long long 并调整 sqrt 类型

真正麻烦的是“合数但质因数和恰好等于各位和”的稀疏性——测试时别只用 4、22、27,至少补一个 58(5+8=13,2+2+9=13)验证重复质因数逻辑。

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