三角数是形如 $t_n = \frac{n(n+1)}{2}$ 的正整数，判断时应解方程 $n^2 + n - 2x = 0$，验证判别式 $\delta = 1 + 8x$ 是否为奇完全平方数，再检查 $(\sqrt{\delta} - 1)/2$ 是否为正整数，避免溢出与浮点精度误差。
什么是三角数，以及为什么不能直接遍历判断
三角数是形如 $ T_n = \frac{n(n+1)}{2} $ 的正整数，比如 1、3、6、10、15……
直接从 n=1 开始循环计算 T_n 并和目标值比较，理论上可行，但对大整数（如接近 INT_MAX）效率低，且容易溢出 —— 比如 n*(n+1) 在未检查时就可能越界。
更可靠的方式是逆向求解：给定整数 x，解方程 $ n(n+1)/2 = x $，即 $ n^2 + n - 2x = 0 $。判别式为 $ \Delta = 1 + 8x $，若 $ \Delta $ 是完全平方数，且 $ \sqrt{\Delta} $ 是奇数，则 $ n = (\sqrt{\Delta} - 1) / 2 $ 是正整数，x 就是三角数。
用 sqrt 判断是否为完全平方数的坑
C++ 标准库的 std::sqrt 返回 double，对大整数（如 > 2⁵³）会丢失精度，导致 static_cast<long long>(std::sqrt(x))</long> 错误向下取整。
- 不要写：
ll r = sqrt(x); return r * r == x;（sqrt可能返回 999999.999999，转成ll得 999999） - 正确做法是：先取整，再前后各试一个值
- 对于非负整数
val，可这样安全判断是否为完全平方数：
long long s = static_cast<long long>(std::sqrt(val));
for (long long r : {s - 1, s, s + 1}) {
if (r >= 0 && r * r == val) return r;
}
return -1; // not a perfect square
</long>
完整判断函数：支持 int 和 long long
核心逻辑分三步：检查输入是否为正、计算判别式、验证平方根并还原 n。
- 输入必须 ≥ 1；0 通常不被视为三角数（按惯例，
T_0 = 0但题目一般指正三角数） - 判别式
delta = 1 + 8LL * x必须用long long避免乘法溢出（哪怕x是int） - 求得整数根
r后，还需检查(r - 1) % 2 == 0且r >= 1，才能保证n = (r - 1) / 2是非负整数
示例实现（适用于 int 输入）：
bool isTriangular(int x) {
if (x <h3>边界情况和性能注意点<ul>
<li>
<code>INT_MAX</code>（约 2.1e9）对应的判别式是 1 + 8×INT_MAX ≈ 1.7e10，在 <code>long long</code> 范围内（安全）</li>
<li>若需支持无符号或更大的类型（如 <code>uint64_t</code>），<code>sqrt</code> 应换用 <code>std::sqrtl</code> 或整数开方（牛顿法），否则 <code>double</code> 精度不够</li>
<li>多次调用时，可预计算小范围三角数打表（比如前 10⁵ 个），用 <code>unordered_set</code> 查找，但空间换时间只在高频查询时划算</li>
</ul>
</h3><p>真正容易被忽略的是：<strong>判别式为完全平方数只是必要条件，不是充分条件</strong> —— 还得确保开方结果是奇数，否则 <code>(r - 1) / 2</code> 不是整数。漏掉这步，会把 4、5、7、8 等非三角数误判为真。</p>C++免费学习笔记（深入）：立即使用
在学习笔记中，你将探索 C++ 的入门与实战技巧！
