完全二叉树节点计数可优化至o((log n)²)时间复杂度，利用编号二进制路径映射、二分查找末层边界及位运算判断节点存在性。
完全二叉树节点计数可以不用遍历全部节点，关键在于利用其编号规律和位运算快速定位路径。
节点编号与二进制路径的对应关系
给完全二叉树从上到下、从左到右编号（根为1），任意节点编号 k 的二进制表示（去掉最高位的 1）就对应了从根出发到达该节点的路径：0 表示向左，1 表示向右。例如编号 6 的二进制是 110，去掉首位 1 后剩下 10，即“先右再左”——根→右子（3）→左子（6）。
- 这个映射成立的前提是树结构符合完全二叉树定义：每层尽量填满，末层左对齐
- 编号范围明确：若树高为 h（根在第 0 层），则最后一层节点编号落在 [2h, 2h+1−1] 区间内
- 因此，只需判断该区间内最大可能编号是否真实存在，就能确定末层节点数
用二分查找缩小末层节点搜索范围
末层节点一定连续集中在左侧，所以编号具有单调性：若编号 k 存在，则所有小于 k 的编号也存在。这支持用二分法快速试探边界。
- 设末层理论最小编号为 left = 2h，最大编号为 right = 2h+1−1
- 每次取 mid，调用 exists() 判断编号 mid 的节点是否存在
- 若存在，说明末层至少有 mid 个节点，搜索右半段；否则搜索左半段
- 最终 left 就是最后一个存在的编号，即总节点数
位运算实现 exists() 函数的核心逻辑
判断编号 k 是否存在，本质是模拟从根出发按二进制路径走到底——这不需要递归或额外空间，仅靠位操作逐位解析即可。
- 初始化 bits = 1
- 循环中用 bits & k 检查当前位是 0 还是 1：结果为 0 走左，非 0 走右
- 每次循环后 bits 右移一位（bits >>= 1），逐步检查路径下一位
- 走完 h 步后，若当前 node 非空，说明 k 对应节点真实存在
整体时间复杂度优势
传统 BFS/DFS 遍历耗时 O(n)，而该方法将问题转化为 O(h) 次 exists() 调用，每次 exists() 耗时 O(h)，二分查找共 O(log(2h)) = O(h) 次迭代，总时间复杂度为 O(h²) = O((log n)²)，远优于线性扫描。
- 树高 h 可通过持续访问左孩子在 O(h) 时间内确定
- 位运算替代字符串拆解或递归路径构造，避免内存分配与函数调用开销
- 适用于节点数达 5×10⁴ 量级的场景，实测运行效率显著提升
