本文介绍几种主流的非均匀随机数生成方法，包括逆变换采样、拒绝采样和重要性采样，重点说明其原理、适用条件与实现要点，并提供 python 示例代码。
本文介绍几种主流的非均匀随机数生成方法，包括逆变换采样、拒绝采样和重要性采样，重点说明其原理、适用条件与实现要点，并提供 python 示例代码。
在科学计算、蒙特卡洛模拟和机器学习中，常需从自定义概率密度函数（PDF）$ f(x) $ 中高效采样——即生成服从该分布的随机数序列。这并非简单调用 random() 即可解决，而需借助非均匀随机变元生成（Non-uniform Random Variate Generation） 的系统方法。核心挑战在于：均匀随机数源（如 numpy.random.uniform）仅能直接生成 $ \text{Uniform}(0,1) $，必须通过数学变换或筛选策略将其“映射”至目标分布。
以下是三种最常用且原理清晰的方法：
1. 逆变换采样（Inverse Transform Sampling）
适用前提：目标分布的累积分布函数（CDF）$ F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt $ 存在解析表达式，且其反函数 $ F^{-1}(u) $ 可高效计算。
原理：若 $ U \sim \text{Uniform}(0,1) $，则 $ X = F^{-1}(U) $ 满足 $ X \sim f(x) $。
示例（指数分布）：
import numpy as np
def sample_exp(lam=1.0, size=1000):
u = np.random.uniform(0, 1, size)
return -np.log(1 - u) / lam # F⁻¹(u) = -ln(1-u)/λ
# 验证：直方图近似指数密度曲线
import matplotlib.pyplot as plt
samples = sample_exp(size=10000)
plt.hist(samples, bins=50, density=True, alpha=0.7)
x = np.linspace(0, 10, 100)
plt.plot(x, lam * np.exp(-lam * x), 'r-', lw=2)
plt.show()
2. 拒绝采样（Rejection Sampling）
适用前提：存在一个易采样的“建议分布” $ g(x) $（如均匀或正态），满足 $ f(x) \leq M \cdot g(x) $ 对所有 $ x $ 成立，其中 $ M > 0 $ 为常数。
原理：重复执行：① 从 $ g(x) $ 采样 $ x' $；② 从 $ \text{Uniform}(0,1) $ 采样 $ u $；③ 若 $ u \leq f(x') / (M g(x')) $，接受 $ x' $，否则拒绝。
注意：接受率 $ = 1/M $，故应尽量使 $ M $ 接近最小上界以提升效率；若 $ f(x) $ 无界（如原问题所述），需先截断或重参数化，否则 $ M \to \infty $ 导致算法失效。
3. 其他实用方案
- 分位数函数近似：当 $ F^{-1} $ 无解析解时，可用数值方法（如 scipy.stats.rv_continuous 自定义分布并调用 .rvs()）。
- Metropolis-Hastings 等 MCMC 方法：适用于高维、复杂后验分布，但需处理收敛性与相关性。
- 查表法（Alias Method / Ziggurat）：针对离散分布或预计算密度网格，兼顾速度与精度。
关键提醒：
✅ 务必确保 $ f(x) \geq 0 $ 且已归一化（$ \int f(x)\,dx = 1 $）；
⚠️ 原问题中“若 f(a) 1 $ 时接受概率超限，导致逻辑错误；
? 实际工程中，优先使用成熟库（如 scipy.stats、torch.distributions）而非手写采样器，以保障数值稳定性与性能。
掌握这些方法，即可系统性地将任意可计算的 PDF 转化为真实可用的随机样本流。
