is_prime函数判断质数：小于2返回false，2返回true，偶数（除2外）返回false，奇数只需试除到sqrt(n)的奇数因子。

怎么用 is_prime 判断一个数是不是质数

直接写个函数就行，但别一上来就试到 n-1——那太慢。质数判断的核心是：只需试除到 sqrt(n)，且跳过所有偶数（除了 2）。注意边界：小于 2 的数不是质数，2 是质数，负数和 0、1 都得提前返回 false。

• n → 直接返回 <code>false
• n == 2 → 返回 true
• n % 2 == 0 → 返回 false（排除其他偶数）
• 从 3 开始，只试奇数因子，上限取 static_cast<int>(std::sqrt(n)) + 1</int>（+1 防止浮点截断漏判）

C++ 里 sqrt 和整数开方容易出什么错

std::sqrt 返回 double，对大整数（比如接近 INT_MAX）可能精度丢失，导致循环少跑一次。更稳的方式是用 i * i 替代 <code>i ，完全避开浮点运算。

• 用 i * i 代替 <code>i (std::sqrt(n))，安全、快、无依赖
• 但要注意 i * i 可能溢出——所以 i 类型至少和 n 一样宽，或加条件 i （更稳妥）
• 别在循环里反复调用 std::sqrt(n)，它不内联，还带浮点开销

多次调用时要不要预处理素数表

单次判断用试除法足够；但如果要查成百上千个数（比如筛区间内所有质数），硬算每个都 sqrt(n) 就亏了。这时该换思路：用埃氏筛或线性筛预生成布尔数组。

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• 查 [2, N] 内所有质数 → 用 std::vector<bool> is_prime(N+1, true)</bool> 做埃氏筛，时间复杂度 O(N log log N)
• 单个数 > N？仍得回退到试除法，但可只试「已知质数」（需先筛出 ≤ sqrt(n) 的质数）
• 别为了查 5 个数就上筛法——初始化开销可能比直接算还大

为什么 int 版本的 is_prime 在 64 位环境也得小心

很多人以为 int 足够，但 C++ 标准只保证 int 至少 16 位。实际中常见 int 是 32 位，最大约 21 亿——而 2147483647 本身是质数，它的平方远超 long long？不，但 i * i 在 int 下会溢出，结果未定义。

• 输入用 long long 或 unsigned long long 更通用
• 循环变量 i 类型必须不小于输入类型，或改用 i 避免乘法
• 编译器不会帮你检查 i * i 溢出，运行时行为不可靠

真正麻烦的不是算法本身，是边界值和类型隐式转换——比如把 unsigned int 传给期望 int 的函数，或者忘了 sqrt 对负数返回 NaN。这些地方一错，结果就静默错掉。

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