活动选择问题，活动选择

活动选择问题，活动选择

问题描述：

设有n个活动的集合E={1,2,…,n}，其中每个活动都要求使用同一资源，如演讲会场等，而在同一时间内只有一个活动能使用这一资源。每个活动i都有一个要求使用该资源的起始时间si和一个结束时间fi,且si

。

从图中可以看出S中共有11个活动，最大的相互兼容的活动子集为:{a₁，a₄，a₈，a11，}和{a₂，a₄，a₉，a₁₁}。

2、动态规划解决过程

（1）活动选择问题的最优子结构

定义子问题解空间S_ij是S的子集，其中的每个获得都是互相兼容的。即每个活动都是在a_i结束之后开始，且在a_j开始之前结束。

为了方便讨论和后面的计算，添加两个虚构活动a₀和a_n+1，其中f₀=0，s_n+1=∞。

结论：当i≥j时，S_ij为空集。

如果活动按照结束时间单调递增排序，子问题空间被用来从S_ij中选择最大兼容活动子集，其中0≤i＜j≤n+1，所以其他的S_ij都是空集。

最优子结构为：假设S_ij的最优解A_ij包含活动a_k，则对S_ik的解A_ik和S_kj的解A_kj必定是最优的。

通过一个活动a_k将问题分成两个子问题，下面的公式可以计算出S_ij的解A_ij。

（2）一个递归解

　　设c[i][j]为S_ij中最大兼容子集中的活动数目，当S_ij为空集时，c[i][j]=0；当S_ij非空时，若a_k在S_ij的最大兼容子集中被使用，则则问题S_ik和S_kj的最大兼容子集也被使用，故可得到c[i][j] = c[i][k]+c[k][j]+1。

当i≥j时，S_ij必定为空集，否则S_ij则需要根据上面提供的公式进行计算，如果找到一个a_k，则S_ij非空（此时满足f_i≤s_k且f_k≤s_j），找不到这样的a_k，则S_ij为空集。

c[i][j]的完整计算公式如下所示：

亲测代码:

1 #include 2 #define max_size 10010 3 int s[max_size]; 4 int f[max_size]; 5 int c[max_size][max_size]; 6 int ret[max_size][max_size]; 7 8 using namespace std; 9 10 void DP_SELECTOF(int *s,int *f,int n,int c[][max_size],int ret[][max_size]) 11 { 12 int i,j,k; 13 int temp; 14 for(j=2;j) 15 for(i=1;i) 16 { 17 for(k=i+1;k) 18 { 19 if(s[k]>=f[i]&&f[k]s[j]) 20 { 21 temp=c[i][k]+c[k][j]+1; 22 if(c[i][j]temp) 23 { 24 c[i][j]=temp; 25 ret[i][j]=k; 26 } 27 } 28 } 29 } 30 } 31 32 int main() 33 { 34 int n; 35 printf("输入活动个数 n: "); 36 while(~scanf("%d",&n)) 37 { 38 memset(c,0,sizeof(0)); 39 memset(ret,0,sizeof(ret)); 40 printf("\n输入活动开始以及结束时间\n"); 41 int i,j; 42 for(i=1;i) 43 { 44 scanf("%d%d",&s[i],&f[i]); 45 } 46 DP_SELECTOF(s,f,n,c,ret); 47 printf("最大子集的个数=%d\n",c[1][n]+2); 48 return 0; 49 } View Code

下面是贪心法的代码：

  

1 #include 2 #define max_size 10010 3 int s[max_size]; 4 int f[max_size]; 5 int ret[max_size]; 6 int c[max_size][max_size]; 7 using namespace std; 8 9 void GREEDY_ACTIVITY_SELECTOR(int *s,int *f,int n,int *ret) 10 { 11 int k,m; 12 *ret++=1; 13 k=1; 14 for(m=2;m) 15 if(s[m]>=f[k]) 16 { 17 *ret++=m; 18 k=m; 19 } 20 } 21 int main() 22 { 23 int n; 24 printf("输入活动个数 n: "); 25 while(~scanf("%d",&n)) 26 { 27 memset(s,0,sizeof(s)); 28 memset(f,0,sizeof(f)); 29 memset(c,0,sizeof(0)); 30 memset(ret,0,sizeof(ret)); 31 printf("\n输入活动开始以及结束时间\n"); 32 int i,j; 33 for(i=1;i) 34 { 35 scanf("%d%d",&s[i],&f[i]); 36 } 37 GREEDY_ACTIVITY_SELECTOR(s,f,n,ret); 38 for(i=0;i) 39 { 40 if(ret[i]!=0) 41 printf("a%d ",ret[i]); 42 } 43 printf("\n"); 44 } 45 } View Code