【编程之美】2.6精确表达浮点数

【问题描述】： 在计算机中，使用float或者double来存储小数是不能得到精确的。如果你希望得到精确计算结果，最好是用分数形式来表示小数。有限小数或者无限循环小数都可以转化为分数。比如： 0.9 = 9/10 0.333（3）= 1/3（括号中的数字表示是循环节） 当然

【问题描述】：

       在计算机中，使用float或者double来存储小数是不能得到精确值的。如果你希望得到精确计算结果，最好是用分数形式来表示小数。有限小数或者无限循环小数都可以转化为分数。比如：
0.9 = 9/10
0.333（3）= 1/3（括号中的数字表示是循环节）
当然一个小数可以用好几种分数形式来表示。如：
0.333（3）= 1/3 = 3/9
       给定一个有限小数或者无限循环小数，你能否以分母最小的分数形式来返回这个小数呢？如果输入为循环小数，循环节用括号标记出来。下面是一些可能的输入数据，如0.3、0.30、0.3（000）、0.3333（3333）、……

解法：

        拿到这样一个问题，我们往往会从最简单的情况入手，因为所有的小数都可以分解成一个整数和一个纯小数之和，不妨只考虑大于0，小于1的纯小数，且暂时不考虑分子和分母的约分，先设法将其表示为分数形式，然后再进行约分。题目中输入的小数，要么为有限小数X=0.a1a2…an，要么为无限循环小数X=0.a1a2…an（b1b2…bm），X表示式中的字母a1a2…an，b1b2…bm都是0~9的数字，括号部分（b1b2…bm）表示循环节，我们需要处理的就是以上两种情况。

        对于有限小数X=0.a1a2…an来说，这个问题比较简单，X就等于（a1a2…an）/10n。

       对于无限循环小数X=0.a1a2…an（b1b2…bm）来说，其复杂部分在于小数点后同时有非循环部分和循环部分，我们可以做如下的转换：

X= 0.a1a2…an（b1b2…bm）

10n* X= a1a2…an.（b1b2…bm）

10n* X= a1a2…an+0.（b1b2…bm）

X =（a1a2…an+0.（b1b2…bm））/10n

        对于整数部分a1a2…an，不需要做额外处理，只需要把小数部分转化为分数形式再加上这个整数即可。对于后面的无限循环部分，可以采用如下方式进行处理：

令Y=0. b1b2…bm，那么

10m *Y=b1b2…bm.（b1b2…bm）

10m *Y=b1b2…bm+0.（b1b2…bm）

10m *Y-Y=b1b2…bm

Y= b1b2…bm/（10m-1）

将Y代入前面的X的等式可得：

X=（a1a2…an+Y）/10n

=（a1a2…an+ b1b2…bm/（10m-1））/10n

=（（a1a2…an）*（10m-1）+（b1b2…bm））/（（10m-1）*10n）

         至此，便可以得到任意一个有限小数或无限循环小数的分数表示，但是此时分母未必是最简的，接下来的任务就是让分母最小，即对分子和分母进行约分，这个相对比较简单。对于任意一个分数A/B，可以简化为（A/Gcd（A,B））/（B/Gcd（A,B）），其中Gcd函数为求A和B的最大公约数，这就涉及本书中的算法（2.7节“最大公约数问题”），其中有很巧妙的解法，请读者阅读具体的章节，这里就不再赘述。

         综上所述，先求得小数的分数表示方式，再对其分子分母进行约分，便能够得到分母最小的分数表现形式。

例如，对于小数0.3（33），根据上述方法，可以转化为分数：

0.3（33）

=（3 *（102-1）+ 33）/（（102-1）*10）

=（3*99+33）/990

= 1 / 3

对于小数0. 285714（285714），我们也可以算出：

0. 285714（285714）

= （285714 *（106-1）+ 285714）/ （（106-1）*106）

= （285714*999999 +285714）/ 999999000000

= 285714 / 999999

= 2/7

以下给出代码，简单实现：

void Cal(char* str)
{
	char *p=str;
	char *q=str,*q1=str;//q和q1分别存储(和)的指针
	while(*p!='\0')
	{
		if(*p=='(')
		{
			q=p;
		}
		if(*p==')')
		{
			q1=p;
		}
		p++;
	}
	if(q==q1)
	{
		cout<br>
<br>
<p><span>为了更完善，分两种情况：</span></p>
<p><span>1、对于小数的情况，不用定义数组形式：</span></p>
<p></p><pre class="brush:php;toolbar:false">#include <iostream>

using namespace std;

long long gcd(long long a, long long b)
{
	if (a >1,b>>1)
				a >>= 1;
				b >>= 1;
				k++;
			}
			else
				// a为偶数，b为奇数，f(a,b)=f(a>>1,b)
				a >>= 1;
		}
		else
		{
			if ((b&1) == 0)
				// a为奇数，b为偶数，f(a,b)=f(a,b>>1)
				b >>= 1;
			else
				// a,b均是奇数，f(a,b)=f(a-b,b)
				a = a-b;
		}
		if (a <br>
<br>

<p><span>2、<span>用于大整数，定义了大整数类型，以及对应的加减乘除、比较移位运算</span></span></p>
<p></p>
<pre class="brush:php;toolbar:false">#include <iostream>
#include <cstring>
#include <string>
using namespace std;

// 大整数类型
#define MAXLEN 1000
struct HP {int len, s[MAXLEN];};

void PrintHP(HP x) 
{
	for (int i=x.len; i>=1; i--)
		cout  1 && !c.s[c.len]) c.len--;
}

// 大整数的比较
int HPCompare(const HP &x, const HP &y)
{
	if (x.len > y.len) return 1;
	if (x.len 1 && (x.s[i]==y.s[i])) i--;
	return x.s[i] - y.s[i];
}

// 大整数的乘法
void Multi(const HP a, const HP b, HP &c)
{
	int i, j;
	// 对乘法结果赋初值，以方便之后的+=运算
	c.len = a.len + b.len;
	for (i=1; i1 && !c.s[i]) i--;
	c.len = i;
}

// 大整数的除法
void Divide(const HP a, const HP b, HP &c, HP &d)
{
	int i, j;
	// 用余数d存被除数a的前i位数据，用来多次减去除数b，以得到商c
	d.len = 1; d.s[1] = 0;
	for (i=a.len; i>0; i--)
	{
		if (!(d.len == 1 && d.s[1] == 0))
		{
			// i没移一位，余数d也移位
			for (j=d.len; j>0; j--)
				d.s[j+1] = d.s[j];
			d.len++;
		}
		d.s[1] = a.s[i];
		c.s[i] = 0;
		// 余数d大于除数b时，才可以进行减操作
		while ((j=HPCompare(d,b)) >= 0)
		{
			Subtract(d, b, d);
			c.s[i]++;
			if (j == 0) break;
		}
	}
	c.len = a.len;
	while (c.len > 1 && c.s[c.len] == 0)
		c.len--;
}
// 十进位右移
void RightShift(HP &x, int k)
{
	for (int i=1; i=1; i--)
		x.s[i+k] = x.s[i];
	for (i=k; i>=1; i--)
		x.s[i] = 0;
	x.len += k;
}
// 求大整数的最大公约数
void GCD(HP a, HP b, HP &c)
{
	if (b.len == 1 && b.s[1] == 0)
	{
		c.len = a.len;
		memcpy(c.s, a.s, (a.len+1)*sizeof(int));
	}
	else
	{
		HP m, n;
		Divide(a, b, m, n);
		GCD(b, n, c);
	}
}

int main()
{
	string str;
	string strc, stra, strb;
	cin >> str;
	int posc = str.find('.');
	int posa = str.find('(');
	int posb = str.find(')');
	strc = str.substr(0, posc);
	if (posc = 0)
		{
			strb = str.substr(posa+1, posb-posa-1);
			// 循环部分
			Str2HP(strb.c_str(), b);
			HP m = tmp;
			LeftShift(m, strb.size());
			Subtract(m, tmp, m);
			// 乘以10^(|b|-1)
			Multi(up, m, up);
			Plus(up, b, up);
			Multi(down, m, down);
		}
		// 求分子分母的最大公约数
		GCD(down, up, tmp);
		HP h;
		Divide(down, tmp, down, h);
		Divide(up, tmp, up, h);
		PrintHP(up); cout <br>
<br>

<p><br>
</p>


</string></cstring></iostream>