Variable Faktor-Inferenz

Variationsinferenz ist eine Wahrscheinlichkeitsinferenzmethode, die zur Approximation der Posteriorverteilung komplexer Wahrscheinlichkeitsmodelle verwendet wird. Es reduziert die Rechenkomplexität, indem es das ursprüngliche Problem in ein Optimierungsproblem umwandelt. Variationsinferenz wird häufig in Bereichen wie maschinellem Lernen, Statistik und Informationstheorie eingesetzt.

Warum heißt es Variation?

Das Wort „Variation“ kommt von der Variationsmethode in der Funktionstheorie, einer Methode zur Lösung des Extremwerts einer Funktion. Bei der Variationsinferenz finden wir eine ungefähre Posteriorverteilung durch Minimierung einer Distanzmetrik, die als Variationsdistanz bezeichnet wird. Daher wird diese Inferenzmethode als Variationsinferenz bezeichnet.

Die Grundidee der Variationsinferenz besteht darin, die wahre hintere Verteilung so genau wie möglich zu approximieren, indem eine ungefähre Verteilung gefunden wird. Zu diesem Zweck führen wir eine parametrisierte Verteilungsfamilie q(z;lambda) ein, wobei z die verborgene Variable und Lambda der zu erhaltende Parameter ist. Unser Ziel ist es, eine Verteilung q(z;lambda) zu finden, die ihren Unterschied zur echten Posterior-Verteilung p(z|x) minimiert. Um den Abstand zwischen den Verteilungen q(z;lambda) und p(z|x) zu messen, verwenden wir den Variationsabstand, der normalerweise mithilfe der KL-Divergenz gemessen wird. Die KL-Divergenz ist ein Maß für die Differenz zwischen zwei Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Insbesondere kann die KL-Divergenz mit der folgenden Formel berechnet werden: KL(q(z;lambda) || p(z|x)) = int q(z;lambda) log frac{q(z;lambda)}{p(z|x)} dz Durch Minimierung der KL-Divergenz können wir den Parameter Lambda finden, der die Differenz zwischen der Verteilung q(z;lambda) und der wahren Posteriorverteilung p(z|x) minimiert. Auf diese Weise können wir eine ungefähre Posteriorverteilung für nachfolgende Inferenz- und Vorhersageaufgaben erhalten. Zusammenfassend besteht die Grundidee der Variationsinferenz darin, die wahre hintere Verteilung durch Finden einer parametrisierten Verteilungsfamilie anzunähern und die KL-Divergenz zu verwenden, um den Unterschied zwischen den beiden Verteilungen zu messen. Durch die Minimierung der KL-Divergenz können wir eine ungefähre Posteriorverteilung für nachfolgende Inferenzaufgaben erhalten.

D_{KL}(q(z;lambda)||p(z|x))=int q(z;lambda)logfrac{q(z;lambda)}{p(z|x)}dz

Beachten Sie, dass die KL-Divergenz nicht negativ ist. Genau dann, wenn q(z;lambda) gleich p(z|x) ist, nimmt die KL-Divergenz den Minimalwert 0 an. Daher kann unser Ziel in die Minimierung der KL-Divergenz umgewandelt werden, das heißt:

lambda^*=argmin_{lambda}D_{KL}(q(z;lambda)||p(z|x))

Da die KL-Divergenz jedoch eine hartnäckige und komplexe Funktion ist, können wir sie nicht direkt minimieren. Daher müssen wir einige Näherungsmethoden verwenden, um dieses Problem zu lösen.

Bei der Variationsinferenz verwenden wir eine Technik namens Variationsuntergrenzen, um die KL-Divergenz anzunähern. Konkret zerlegen wir zunächst die KL-Divergenz in:

D_{KL}(q(z;lambda)||p(z|x))=E_{q(z;lambda)}[log q( z; lambda)-log p(z,x)]

Dann erhalten wir durch Einführung einer neuen Verteilung q(z|x) und Verwendung der Jensen-Ungleichung eine Untergrenze:

log p( x)ge E_ {q(z|x)}[log p(x,z)-log q(z|x)]

wobei log p(x) die Grenzwahrscheinlichkeit der Daten ist, p(x, z) ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung und q(z|x) ist die ungefähre Posteriorverteilung.

Diese untere Grenze wird Variationsuntergrenze oder ELBO (Evidence Lower Bound) genannt. Der Parameter Lambda der ungefähren hinteren Verteilung kann durch Maximieren von ELBO optimiert werden:

lambda^*=argmax_{lambda}E_{ q (z|x;lambda)}[log p(x,z)-log q(z|x;lambda)]

Beachten Sie, dass dieses Optimierungsproblem durch Optimierungsalgorithmen wie Gradientenabstieg gelöst werden kann. Schließlich kann die ungefähre hintere Verteilung q(z|x), die wir erhalten, zur Berechnung verschiedener Erwartungen verwendet werden, wie z. B. Vorhersage, Modellauswahl usw.

Kurz gesagt ist Variationsinferenz eine Wahrscheinlichkeitsinferenzmethode, die auf der Minimierung der KL-Divergenz basiert. Durch die Einführung der Technik der Variationsuntergrenze wird ein Optimierungsalgorithmus verwendet, um die Posteriorverteilung eines komplexen Wahrscheinlichkeitsmodells anzunähern.

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