Variationsinferenz- und Erwartungsmaximierungsalgorithmen

Variationsinferenz und EM-Algorithmus sind häufig verwendete probabilistische grafische Modellinferenzmethoden, die beide verwendet werden, um die Verteilung versteckter Variablen aus Beobachtungsdaten abzuleiten. Sie werden häufig in praktischen Anwendungen eingesetzt und können komplexe Probleme lösen.

1. Variationsinferenz

Variationsinferenz ist eine ungefähre Inferenzmethode, die das Problem löst, indem sie es in eine ungefähre Verteilung umwandelt. Typischerweise handelt es sich bei dieser Näherungsverteilung um eine einfache Verteilung, beispielsweise eine Gauß- oder Exponentialverteilung. Durch Variationsinferenz wird die optimale Näherungsverteilung ermittelt, indem der Abstand zwischen der Näherungsverteilung und der wahren Verteilung minimiert wird. Dieser Abstand wird im Allgemeinen mithilfe der KL-Divergenz gemessen. Daher besteht das Ziel der Variationsinferenz darin, die KL-Divergenz zu minimieren, um den Unterschied zwischen der Näherungsverteilung und der wahren Verteilung zu verringern.

Im Einzelnen wird der Prozess der Variationsinferenz durch die folgenden Schritte abgeschlossen:

1 Bestimmen Sie die vorherige Verteilung und die Wahrscheinlichkeitsfunktion des Modells.

2. Wählen Sie eine einfache Verteilung als Näherungsverteilung und bestimmen Sie die Parameter der Näherungsverteilung.

3. Verwenden Sie die KL-Divergenz, um den Abstand zwischen der ungefähren Verteilung und der wahren Verteilung zu messen und zu minimieren.

4. Minimieren Sie die KL-Divergenz, indem Sie die Parameter der Näherungsverteilung iterativ optimieren.

5. Schließlich kann die erhaltene Näherungsverteilung verwendet werden, um auf die Verteilung der versteckten Variablen zu schließen.

Der Vorteil der Variationsinferenz besteht darin, dass sie große Datensätze und komplexe Modelle verarbeiten kann. Darüber hinaus kann es mit unvollständigen Daten umgehen, da es bei fehlenden Daten Rückschlüsse ziehen kann. Der Nachteil dieses Ansatzes besteht jedoch darin, dass er eher zu einer lokalen optimalen Lösung als zu einer globalen optimalen Lösung konvergieren kann. Da die Wahl der Näherungsverteilung außerdem willkürlich ist, kann die Wahl einer ungeeigneten Näherungsverteilung zu ungenauen Inferenzergebnissen führen.

2. EM-Algorithmus

Der EM-Algorithmus ist ein iterativer Algorithmus, der zur Schätzung der Parameter eines probabilistischen Modells bei Vorhandensein versteckter Variablen verwendet wird. Die Hauptidee des EM-Algorithmus besteht darin, die Untergrenze der Wahrscheinlichkeitsfunktion zu maximieren, indem abwechselnd zwei Schritte ausgeführt werden, nämlich der E-Schritt und der M-Schritt.

Im Einzelnen ist der Prozess des EM-Algorithmus wie folgt:

1. Modellparameter initialisieren.

2. Schritt E: Berechnen Sie die Posteriorverteilung der verborgenen Variablen, d. h. die bedingte Verteilung der verborgenen Variablen unter Berücksichtigung der aktuellen Parameter.

3. Schritt M: Maximieren Sie die Untergrenze der Wahrscheinlichkeitsfunktion, d. h. aktualisieren Sie die Modellparameter unter der in Schritt E berechneten Posterior-Verteilung.

4. Wiederholen Sie die Schritte E und M bis zur Konvergenz.

Der Vorteil des EM-Algorithmus besteht darin, dass er eine Parameterschätzung bei Vorhandensein versteckter Variablen durchführen und unvollständige Daten verarbeiten kann. Da der EM-Algorithmus außerdem optimiert, indem er die untere Grenze der Wahrscheinlichkeitsfunktion maximiert, ist garantiert, dass jede Iteration die Wahrscheinlichkeitsfunktion erhöht. Der Nachteil des EM-Algorithmus besteht jedoch darin, dass er möglicherweise zur lokalen optimalen Lösung statt zur globalen optimalen Lösung konvergiert. Darüber hinaus reagiert der EM-Algorithmus sehr empfindlich auf die Auswahl der Anfangsparameter, sodass eine ungeeignete Auswahl der Anfangsparameter dazu führen kann, dass der Algorithmus in eine lokal optimale Lösung fällt.

Im Allgemeinen sind Variationsinferenz und EM-Algorithmus zwei wichtige probabilistische grafische Modellinferenzmethoden. Sie können beide viele komplexe Probleme der realen Welt bewältigen, haben aber alle ihre eigenen Stärken und Schwächen. In praktischen Anwendungen ist es notwendig, geeignete Methoden basierend auf spezifischen Problemen und Datensätzen auszuwählen und angemessene Parameterauswahl- und Optimierungsstrategien durchzuführen, um genaue und zuverlässige Inferenzergebnisse zu erhalten.

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