Detaillierte Erklärung eines bestimmten Integralproblems über inverse trigonometrische Funktionen

Eine Frage zum bestimmten Integral inverser trigonometrischer Funktionen ist bei der detaillierten Vorgehensweise problematisch

∫ (arcsinx)² dx

= x(arcsinx)² - ∫ x d(arcsinx)²

= x(arcsinx)² - ∫ x • 2(arcsinx) • 1/√(1 - x²) • dx

= x(arcsinx)² - 2∫ x(arcsinx)/√(1 - x²) dx

= x(arcsinx)² - 2∫ arcsinx d[-√(1 - x²)]

= x(arcsinx)² + 2(arcsinx)√(1 - x²) - 2∫ √(1 - x²) d(arcsinx)

= x(arcsinx)² + 2(arcsinx)√(1 - x²) - 2∫ √(1 - x²)/√(1 - x²) dx

= x(arcsinx)² + 2(arcsinx)√(1 - x²) - 2x + C

Dies ist ein unbestimmtes Integral

Ersetzen Sie die Fixpunkte und fertig

Die ursprüngliche Funktion der umgekehrten trigonometrischen Funktion

Mit der partiellen Integration erhalten wir:

I = ∫ arcsinx dx = x arcsinx - ∫ [x/√(1-x^2)] dx

= x arcsinx + (1/2) ∫ [1/√（1-x^2）] d(1-x^2) = x arcsinx + √（1-x^2） +C

I = ∫ arccosx dx = x arccosx + ∫ [x/√（1-x^2）] dx

= x arccosx - (1/2) ∫ [1/√（1-x^2）] d(1-x^2) = x arccosx - √（1-x^2） +C

I = ∫ arctanx dx = x arctanx - ∫ [x/(1+x^2)] dx

= x arctanx - (1/2) ∫ [1/(1+x^2)] d(1+x^2) = x arctanx - (1/2)ln(1+x^2) +C

Es ist die Sammelbezeichnung für Arkussinus Arcsinus, inverser Kotangens, inverser Sekant, inverser Kosekans ist der Winkel von x.

Erweiterte Informationen:

Es ist am besten, wenn die Funktion in diesem Intervall stetig ist (der Grund dafür, dass sie hier am besten ist, liegt darin, dass die Umkehrsekanten- und Umkehrkosekansfunktionen scharf sind). Intervall von 0 bis π/2 Horn.

Der Funktionswertbereich im ermittelten Intervall sollte mit dem Bereich der gesamten Funktion identisch sein. Die auf diese Weise ermittelte inverse trigonometrische Funktion ist einwertig. Um sie von der mehrwertigen inversen trigonometrischen Funktion oben zu unterscheiden, wird das A in Arc häufig in eine in-Notation geändert, beispielsweise in die einwertige Umkehrsinusfunktion wird als arcsin x aufgezeichnet.

Um die inverse trigonometrische Funktion auf eine einwertige Funktion zu beschränken, begrenzen Sie den Wert y der inversen Sinusfunktion auf -π/2≤y≤π/2 und verwenden Sie y als Hauptwert der inversen Sinusfunktion, aufgezeichnet als y=arcsin x; dementsprechend ist der Hauptwert der Umkehrkosinusfunktion y=arccos x auf 0≤y≤π begrenzt; /2; die Umkehrkotangensfunktion y=arccot ​​​​x Der Hauptwert von ist auf 0

Referenzquelle: Enzyklopädie – Inverse trigonometrische Funktionen

Wie man das unbestimmte Integral der inversen trigonometrischen Funktion beweist

Wenn das Integralintervall symmetrisch ist, prüfen Sie zunächst, ob die Formel eine ungerade Funktion enthält. Die quadratische Entwicklung dieser Frage lautet beispielsweise: 1+2x(1-x^2)^1/2 (1-x^2)^1 /2 ist eine ungerade Funktion, daher ist ihr Integral im symmetrischen Intervall 0 und es bleibt nur „1“ übrig, sodass das Ergebnis 2

ist

2. Wenn arctan, ln und dergleichen auftauchen, müssen Sie einen Weg finden, Ableitungen davon zu erstellen, x*arctanx. Wenn Sie eine Ableitung von arctanx erstellen möchten, müssen Sie Integrale nach Teilen verwenden:

Setzen Sie x hinten ein, die ursprüngliche Integralformel lautet: 1/2arctanx d(x^2), die Integralformel der zweiten Hälfte des Integrals ist (x^2)/(1+x^2), Das sollte funktionieren. Es ist akkumuliert, der Schlüssel liegt darin, zu wissen, wie man Arctan führt

Das Ergebnis dieser Frage ist: 1/2(x^2*arctanx - x + arctanx + C)

Solange Sie hier weitere Fragen stellen, wird die Idee klar sein. Die eigentliche Schwierigkeit liegt in den Mehrfachintegralen und Oberflächenkurvenintegralen am Ende, die als abnormal bezeichnet werden können

Ableitung der Integralformel nach Teilen

Die Integral-für-Teile-Formel ist eine sehr wichtige Formel. Mit ihr können Sie einige Integralprobleme schnell lösen. Gleichzeitig kann die Antwort auch gelöst werden, wenn einige Integrandenfunktionen die ursprüngliche Funktion nicht direkt finden können.

Erweiterte Informationen:

1. Die partielle Integralmethode ist eine wichtige und grundlegende Methode zur Berechnung von Integralen in der Analysis.

2. Es leitet sich aus der Multiplikationsregel der Differentialrechnung und dem Fundamentalsatz der Analysis ab. Sein Hauptprinzip besteht darin, die Integralform, die nicht leicht zu direkten Ergebnissen führt, in eine äquivalente Integralform umzuwandeln, die leicht zu Ergebnissen führt.

3. Entsprechend den Grundfunktionstypen, aus denen der Integrand besteht, ist die Reihenfolge häufig verwendeter Integrale nach Teilen in einer Formel organisiert: „Opposition zur Potenz bezieht sich auf drei“. Sie beziehen sich jeweils auf fünf Arten von Grundfunktionen: inverse trigonometrische Funktionen, logarithmische Funktionen, Potenzfunktionen, Exponentialfunktionen und Integrale trigonometrischer Funktionen.

4. Formel (1) des unbestimmten Integrals, ∫ a dx = ax + C, a und C sind beide Konstanten

(2), ∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C, wobei a eine Konstante und a ≠ -1

ist

(3), ∫ 1/x dx = ln|x|

(4), ∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C, wobei a > 0 und a ≠

(5), ∫ e^x dx = e^x + C

(6), ∫ cosx dx = sinx +

(7), ∫ sinx dx = - cosx + C

(8), ∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx|

5. Methode des unbestimmten Integrals:

Die erste Art der Substitution ist eigentlich eine Art Flickwerk, bei dem f'(x)dx=df(x) verwendet wird und die restlichen vorherigen nur Funktionen über f(x) sind und dann f(x) als behandelt werden a Das Ganze, das Endergebnis.

Integral nach Teilen gibt es nur wenige feste Typen, bei denen es sich lediglich um mit x multiplizierte trigonometrische Funktionen oder mit x multiplizierte Exponentialfunktionen oder logarithmische Funktionen handelt. Die Speichermethode besteht darin, die oben erwähnte Transformation x zu verwenden. dx=df(x) und verwenden Sie dann die Formel ∫xdf(x)=f(x)x-∫f(x)dx. Natürlich kann x durch ein anderes g(x) ersetzt werden.

Referenz: Enzyklopädie: Methode der Integration nach Teilen

Das obige ist der detaillierte Inhalt vonDetaillierte Erklärung eines bestimmten Integralproblems über inverse trigonometrische Funktionen. Für weitere Informationen folgen Sie bitte anderen verwandten Artikeln auf der PHP chinesischen Website!