Terence Taos verrückter Amway-Copilot: Es hat mir geholfen, einen einseitigen Korrekturabzug zu erstellen und sogar meinen weiteren Prozess zu erraten

Nachdem Copilot von GPT-4 „unterstützt“ wurde, wurde es auch von Terence Tao bevorzugt.

Er sagte unverblümt, dass Copilot beim Programmieren direkt vorhersagen kann, was er als nächstes tun wird.

Mit Copilot ist die Forschung auch für Tao Zhexuan einfacher geworden, um seine neuesten Forschungsergebnisse zu vervollständigen.

Tao Zhexuan sagte, dass dieser Teil des Papiers eigentlich nur eine Seite hat.

Aber um diesen einseitigen Beweis zu vervollständigen, hat er mehr als 200 Zeilen Code geschrieben und dabei die neu erlernte Programmiersprache Lean4 verwendet.

Die GitHub-Seite des öffentlichen Codes von Tao Zhexuan zeigt, dass Copilot die Geschwindigkeit beim Schreiben von Code um mehr als die Hälfte erhöht hat.

Tao Zhexuan sagte, der Grund, warum er sich für Lean4 entschieden habe, sei die „Rewriting-Strategie“, die darin bestehe, einen langen Ausdruck gezielt teilweise zu ersetzen.

Wenn beispielsweise eine komplexe Funktion f(x) definiert ist und wir den Ausdruck von f(114514) eingeben möchten, können wir x mithilfe von Code direkt in 114514 „umschreiben“.

Tao Zhexuan sagte, dass diese Funktion im Vergleich zu LaTeX, das eine wiederholte Eingabe von Formeln erfordert, nicht sehr praktisch sei.

Welche neuen Ergebnisse hat uns Tao Zhexuans „One-Page Proof“ dieses Mal gebracht?

Einseitiger Beweis neuer Ungleichheiten

In diesem Artikel geht es um Probleme im Zusammenhang mit MacLaughlins Ungleichheit.

McLaughlins Ungleichung ist eine klassische Ungleichung in der Mathematik. Sie wird auf der Grundlage des Gesetzes abgeleitet, dass „das arithmetische Mittel nicht negativer reeller Zahlen größer oder gleich dem geometrischen Mittel ist“.

1

...y_n ist eine nicht negative reelle Zahl. Für k=1...n ist der Mittelwert S_k definiert als (der Nenner ist die Anzahl der Terme im Zähler):

Es erscheint als normalisierter Koeffizient eines Polynoms n-ten Grades mit Wurzeln. (Denken Sie an diese Formel, wir nennen sie Formel 1)

In der Analysis gibt es auch eine klassische Newtonsche Ungleichung:

Für jedes 1≤kn

alle nicht negativ sind, kann Newtons Ungleichung einfach Mike beschreiben Laurins Ungleichung:

Aber wenn diese Einschränkung nicht hinzugefügt wird, das heißt, die Existenz negativer Terme ist zulässig, kann Maclaurins Ungleichung nicht durch Newtons Ungleichung ausgedrückt werden. Für den Fall, dass negative Terme in Newtons Ungleichungen vorkommen können, schlug Tao Zhexuan einen neuen Satz von Ungleichungsvarianten vor:

Für jedes r>0 und 1≤ℓ≤n muss Gleichung 2 oder Gleichung 3 wahr sein.

Das möchte Tao Zhexuan auf dieser Seite beweisen. Der spezifische Beweisprozess ist wie folgt: Es ist besser, ein Polynom P(z) über die komplexe Variable z zu konstruieren:

Von Die vorherige Formel 1 und die Dreiecksungleichung können erhalten werden:

Wir müssen also nur eine Untergrenze festlegen:

Nehmen Sie den Absolutwert von P(z) und berechnen Sie dann den Logarithmus, um Folgendes zu erhalten:

Da für jede reelle Zahl t, t ↦ log(e ^t+a) ist Konvexität und a>0, wir können die Ungleichung erhalten:

Wenn a=r², t=2log y_j, können wir erhalten:

The Oben ist der von Tao Zhexuan angegebene Beweisprozess dargestellt. Wenn jedoch das normalisierte |S_n|=1 gilt, gilt die folgende Formel:

Nächster Schritt: Erstellen Sie eine verfeinerte Version

Zusätzlich zum „eins-“ Seitenbeweis“ dieses Mal erwähnt, Terence Taos In diesem Artikel wurde auch ein weiterer neuer Satz vorgeschlagen, nämlich für jedes 1 ≤ k ≤ ℓ≤ n.:

In dem Blogbeitrag enthüllte Tao Zhexuan, dass sein nächster Plan darin besteht Schlagen Sie diese verfeinerte Version der Ungleichung vor.

Tao Zhexuan sagte, dass der Beweisprozess so einfach wie das Üben sei und mit Infinitesimalrechnung durchgeführt werden könne.

Allerdings erwähnte er auch, dass es eine kleine Schwierigkeit geben wird, da dieser Teil des Arguments asymptotische Symbole verwendet.

Lasst uns abwarten, wie das neue Fazit aussehen wird.

One More Thing

Tao Zhexuan ist ein treuer Fan der KI-Tools Copilot, GPT-4 und einige andere Hilfstools, die er empfohlen hat.

Dieses Mal stellte er auch neue Erwartungen an die Entwicklung großer Modelle und hoffte, dass das Modell eines Tages direkt Ungleichheitsvarianten generieren kann.

Papieradresse: https://arxiv.org/abs/2310.05328

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