Die Geheimnisse der „atomaren Geometrie“ enthüllen: Maschinelles Lernen treibt die Entwicklung der Mathematik voran

Eine algebraische Varietät ist eine Menge, die durch mehrere Polynomgleichungen definiert ist. Es ist ein wichtiges Konzept in der algebraischen Geometrie und untersucht die Eigenschaften der Lösungsmenge von Polynomgleichungen im geometrischen Raum. Die Gleichungen algebraischer Varietäten können jede Dimension haben und können Gleichungen im Bereich der reellen Zahlen oder Gleichungen im Bereich der komplexen Zahlen sein. Das Studium der Eigenschaften algebraischer Varietäten kann uns helfen, die Verteilung und geometrische Form der Wurzeln von Polynomgleichungen zu verstehen.

Algebraische Geometrie ist eine Disziplin, die die beiden Zweige der Mathematik, Algebra und Geometrie, integriert. Einerseits geht es dabei um Algebra, also das Studium der Eigenschaften und Lösungen von Gleichungen, andererseits auch um Geometrie, also das Studium der Eigenschaften und Charakteristika von Formen. Das Ziel der algebraischen Geometrie besteht darin, abstrakte algebraische Methoden auf die Geometrie anzuwenden, um Probleme im Zusammenhang mit komplexen und konkreten Formen, Flächen, Räumen und Kurven zu lösen. Das Grundproblem der algebraischen Geometrie besteht darin, die Lösungsmenge eines Satzes von Polynomgleichungen zu klassifizieren Einfach ausgedrückt besteht die Aufgabe darin, den Raum zu klassifizieren. Das grundlegende Ziel seiner Forschung ist die sogenannte algebraische Varietät, bei der es sich um die geometrische Darstellung der Lösungsmenge von Polynomgleichungen handelt.

Die Fano-Varietät (Fano-Varietät) ist eine wichtige Art algebraischer Varietät. In gewissem Sinne sind sie „atomare Teile“ mathematischer Formen. Auch in der Stringtheorie spielen Fano-Varietäten eine wichtige Rolle.

Umgeschriebener Inhalt: Fano-Cluster sind die Grundbausteine ​​geometrischer Formen. Sie sind „Atomblöcke“ mathematischer Formen. Die neueste Forschung zur Klassifizierung von Fano-Clustern umfasst die Analyse einer Art von Invarianz, die als Quantenperiodizität bekannt ist. Eine Quantenperiode ist eine Folge von ganzen Zahlen, die verwendet wird, um einen numerischen Fingerabdruck für einen Fano-Cluster bereitzustellen. Es wird spekuliert, dass die geometrischen Eigenschaften des Fano-Clusters direkt aus seiner Quantenperiode wiederhergestellt werden können, wenn diese Hypothese zutrifft

Kürzlich haben Mathematiker der University of Nottingham und des Imperial College London erstmals maschinelles Lernen eingesetzt, um Erweitern und beschleunigen Sie die Analyse von „Das Studium der Atomformen“. Diese „Atomformen“ sind die Bausteine, aus denen die geometrischen Grundformen höherer Dimensionen bestehen

Konkret wandten die Forscher maschinelles Lernen auf eine Frage an: Kennt die Quantenperiode von X die Dimensionen von X? Beachten Sie, dass es hierfür kein theoretisches Verständnis gibt. Untersuchungen zeigen, dass ein einfaches neuronales Feedforward-Netzwerk die Dimensionen von X mit einer Genauigkeit von 98 % bestimmen kann. Auf dieser Grundlage ermittelten die Forscher strenge asymptotische Eigenschaften innerhalb der Quantenperiode einer Klasse von Fano-Clustern. Diese asymptotischen Eigenschaften bestimmen die Dimensionen der Quantenperiode von X. Die Ergebnisse zeigen, dass maschinelles Lernen ohne theoretisches Verständnis Strukturen aus komplexen mathematischen Daten erkennen kann. Sie liefern auch einen positiven Beweis für die Vermutung, dass die Quantenperiode des Fano-Clusters die Diversität bestimmt.

Die Forschung trägt den Titel „Dimensions of Fanno Diversity in Machine Learning“ und wurde am 8. September 2023 in „Nature Communications“ veröffentlicht

Link zum Papier: https://www.nature.com/ Articles/s41467-023-41157-1

Vor einigen Jahren begann das Forschungsteam mit der Arbeit an der Erstellung eines Periodensystems der Formen. Sie nannten die Atomfragmente Fano-Cluster. Das Team ordnete jeder Form eine Zahlenfolge namens Quantenzyklen zu, um einen „Barcode“ oder „Fingerabdruck“ zu erstellen, der die Form beschreibt. Kürzlich gelang es ihnen, diese Barcodes mithilfe einer neuen Methode des maschinellen Lernens schnell zu durchforsten und so Formen und ihre Eigenschaften zu identifizieren, beispielsweise die Abmessungen jeder Form

Alexander Kasprzyk sagte: „Für Mathematiker ist der Schlüssel der Schritt.“ Es kann sehr schwierig sein, das Muster in einem bestimmten Problem zu erkennen, und die Entdeckung mancher mathematischer Theorien kann Jahre dauern, sagte Professor Tom Coates: „Hier kann künstliche Intelligenz die Mathematik wirklich revolutionieren.“ ein leistungsstarkes Werkzeug zum Entdecken von Mustern in komplexen Bereichen wie Algebra und Geometrie.“

Sara Veneziale sagte: „Wir freuen uns sehr über die Tatsache, dass maschinelles Lernen in der reinen Mathematik eingesetzt werden kann .“

Insgesamt zeigt diese Forschung, dass maschinelles Lernen in der Lage ist, bisher unbekannte Strukturen in komplexen mathematischen Daten zu entdecken, und ein leistungsstarkes Werkzeug für die Entwicklung strenger mathematischer Ergebnisse ist. Es liefert auch Beweise für die Grundvermutung im Fano-Sortenprogramm: Die reguläre Quantenperiode der Fano-Sorte bestimmt diese Änderung

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