Kann eine quadratische Matrix als Summe einer symmetrischen Matrix und einer antisymmetrischen Matrix ausgedrückt werden?

Symmetrische Matrix – Eine Matrix, deren Transponierte gleich der Matrix selbst ist. Man spricht dann von einer symmetrischen Matrix.

Antisymmetrische Matrix – Ihre Transponierte ist gleich dem negativen Wert der Matrix, dann wird sie antisymmetrische Matrix genannt.

Die Summe einer symmetrischen Matrix und einer antisymmetrischen Matrix ist eine quadratische Matrix. Um die Summe dieser Matrizen zu ermitteln, verwenden wir die folgende Formel.

Angenommen, A ist eine quadratische Matrix. Dann ist

A = (½)*(A + A`)+ (½ )*(A - A`),

A` ist die Transponierte der Matrix.

(½ )(A+ A`) ist eine symmetrische Matrix.

(½ )(A - A`) ist eine antisymmetrische Matrix.

Beispiel

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 3
void printMatrix(float mat[N][N]) {
   for (int i = 0; i < N; i++) {
      for (int j = 0; j < N; j++)
         cout << mat[i][j] << " ";
         cout << endl;
   }
}
int main() {
   float mat[N][N] = { { 2, -2, -4 },
   { -1, 3, 4 },
   { 1, -2, -3 } };
   float tr[N][N];
   for (int i = 0; i < N; i++)
   for (int j = 0; j < N; j++)
   tr[i][j] = mat[j][i];
   float symm[N][N], skewsymm[N][N];
   for (int i = 0; i < N; i++) {
      for (int j = 0; j < N; j++) {
         symm[i][j] = (mat[i][j] + tr[i][j]) / 2;
         skewsymm[i][j] = (mat[i][j] - tr[i][j]) / 2;
      }
   }
   cout << "Symmetric matrix-" << endl;
   printMatrix(symm);
   cout << "Skew Symmetric matrix-" << endl;
   printMatrix(skewsymm);
   return 0;
}

Ausgabe

Symmetric matrix -
2 -1.5 -1.5
-1.5 3 1
-1.5 1 -3
Skew Symmetric matrix -
0 -0.5 -2.5
0.5 0 3
2.5 -3 0

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