Die Anzahl der Bäume, deren Scheitelpunktsumme L ist

Die Anzahl der Bäume für einen gegebenen ganzzahligen Grad L kann durch eine Gleichung bestimmt werden, die auf der Graphannahme basiert. Zunächst stellen wir fest, dass der ganzzahlige Grad eines Baums mit N Eckpunkten kontinuierlich 2N-2 ist. Damit können wir die Anzahl der Lücken im Baum berechnen, die L minus 2 beträgt. Eine andere Methode besteht darin, die Anzahl der internen Scheitelpunkte zu bestimmen, indem die Anzahl der Starts von der Gesamtzahl der Scheitelpunkte subtrahiert wird. Schließlich können wir mithilfe einer Kombinationsgleichung die Anzahl der Möglichkeiten bestimmen, die verbleibenden Grade auf die inneren Eckpunkte zu verteilen. Daher können diese Schritte verwendet werden, um die Anzahl der Bäume mit ganzzahligem Grad L zu zählen.

Anwendungsmethode

• Rekursive Aufzählung

• Kombinierte Analyse

Rekursive Aufzählung

Rekursives Zählen kann eine Strategie sein, um die Anzahl der Bäume mit einem bestimmten Grad L zu bestimmen. Ausgehend von einem einzelnen Scheitelpunkt beziehen wir systematisch moderne Scheitelpunkte und Kanten ein, um den Baum aufzubauen. Bei jedem Schritt übergeben wir die verbleibenden Grade zwischen vorhandenen Eckpunkten und behalten dabei die angegebene Summe bei. Dieser Vorgang wird rekursiv wiederholt, wobei alle möglichen Kombinationen untersucht werden. Durch Rückverfolgung und Berücksichtigung unterschiedlicher Grade können wir die Anzahl der gültigen Bäume bestimmen. Dieser Ansatz ist für kleinere Eingabegrößen sehr nützlich, kann jedoch für größere L-Werte ineffizient werden, da seine zeitliche Komplexität exponentiell ist.

Algorithmus

• Definieren Sie eine rekursive Funktion countTrees(L, vertexCount), wobei L die erforderliche Gradsumme und vertexCount die Anzahl der Scheitelpunkte im Baum darstellt.

• Grundlage.

• Wenn L mit 2 ausgeglichen ist und vertexCount gleich 1 ist, wird 1 zurückgegeben (da ein einzelner Scheitelpunkt ein wesentlicher Baum sein kann). Initialisieren Sie die Variable treeCount auf 0.

• Durchlaufen Sie die möglichen Grade des aktuellen Scheitelpunkts von 1 bis L-1.

• Innerhalb der Schleife.

• Subtrahieren Sie L vom aktuellen Grad und rufen Sie countTrees rekursiv mit dem aktualisierten L und vertexCount-1 auf. Weisen Sie den zurückgegebenen Wert treeCount zu. TreeCount zurückgeben.

• Anrufanzahl. Bäume arbeiten mit dem erforderlichen L und der anfänglichen Scheitelpunktanzahl (gemäß Regel 1), um die Anzahl der Bäume mit der angegebenen Gradsumme zu erhalten.

Die chinesische Übersetzung von

Beispiel

lautet:

Beispiel

#include <iostream>

int countTrees(int L, int vertexCount) {
   if (L == 2 && vertexCount == 1) {
     return 1;
   }

   int treeCount = 0;
   for (int degree = 1; degree <= L - 1; degree++) {
      int remainingSum = L - degree;
      int subTreeCount = countTrees(remainingSum, vertexCount - 1);
      treeCount += subTreeCount;
   }

   return treeCount;
}

int main() {
   int L = 8;
   int vertexCount = 4;

   int numTrees = countTrees(L, vertexCount);
   std::cout << "Number of trees with sum of degrees " << L << " and " << vertexCount << " vertices: " << numTrees << std::endl;

   return 0;
}

Ausgabe

Number of trees with sum of degrees 8 and 4 vertices: 10

Kombinierte Analyse

Bei der kombinatorischen Analyse wird die Struktur der Bäume berücksichtigt und mithilfe einer kombinatorischen Strategie nummeriert, um die Anzahl der Bäume mit einer bestimmten Gradsumme L zu bestimmen. Dabei geht es darum, die Abschlussanforderungen zu analysieren, die Anzahl der internen Scheitelpunkte zu bestimmen und diese zu löschen sowie ihnen die verbleibenden Abschlüsse zuzuordnen. Durch die Verwendung von Konzepten wie Kombinationen, Stufen und wiederkehrenden Beziehungen ermöglicht die kombinatorische Analyse die Ableitung von Gleichungen oder Berechnungsmethoden, um die Anzahl der Bäume mit einer bestimmten Gradsumme L genau zu zählen. Dieser Ansatz nutzt wissenschaftliche Standards, um Probleme effizient und kompetent zu lösen.

Algorithmus

• Initialisieren Sie die Variable count_trees auf 0.

• Iterieren Sie die Anzahl der möglichen Filter von 1 bis L-2, d.

• Berechnen Sie die Anzahl der internen Eckpunkte, d. h. L – i.

• Weisen Sie die verbleibenden Grade mithilfe der Kombinationsmethode den Inneneckpunkten zu. Sie können diese Verteilung mithilfe rekursiver Methoden oder dynamischer Programmierung berechnen.

• Erhöhen Sie count_trees auf die Anzahl der Elemente, indem Sie Grade zwischen internen Scheitelpunkten übergeben und Blätter auswählen.

• Zählbäume als Ergebnis zurückgeben.

Die chinesische Übersetzung von

Beispiel

lautet:

Beispiel

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>

int countTrees(int L) {
   int count_trees = 0;
   for (int i = 1; i <= L - 2; i++) {
      int internal_vertices = L - i;
        
      // Calculate the number of ways to distribute degrees among internal vertices
      std::vector<int> degrees(internal_vertices - 2, 1);
      degrees.push_back(2);
        
      do {
         // Calculate the number of ways to select the leaves
         int leaf_selection = std::count_if(degrees.begin(), degrees.end(), [](int x) {
            return x == 1;
         });
            
         count_trees += leaf_selection;
      } while (std::next_permutation(degrees.begin(), degrees.end()));
   }

   return count_trees;
}

int main() {
   int L = 10; // Assuming L = 10
   int result = countTrees(L);

   std::cout << "Number of trees: " << result << std::endl;

   return 0;
}

Ausgabe

Number of trees: 168

Fazit

In diesem Artikel werden zwei Strategien zur Bestimmung der Anzahl von Bäumen mit einem bestimmten Grad in einem Diagramm untersucht. Die Hauptstrategie ist die rekursive Identifizierung, die den Baum durch effizientes Hinzufügen von Scheitelpunkten und Kanten erstellt und dabei die verbleibenden Grade weitergibt. Die zweite Strategie ist die kombinatorische Analyse, die numerische Kriterien und kombinatorische Methoden verwendet, um die Anzahl der Bäume durch Gradübergabe zwischen Eckpunkten zu berechnen. Beide Methoden bieten effiziente Möglichkeiten zur Problemlösung und sind in völlig unterschiedlichen Szenarien relevant.

Das obige ist der detaillierte Inhalt vonDie Anzahl der Bäume, deren Scheitelpunktsumme L ist. Für weitere Informationen folgen Sie bitte anderen verwandten Artikeln auf der PHP chinesischen Website!