Was ist der Grund für das doppelte Integral ∫∫ydσ = 0 in polaren Koordinaten?

Cleverer Beweis für Doppelintegral ∬ydσ = 0 unter polaren Koordinaten und gemeinsame Fehleranalyse

Dieser Artikel analysiert eine Frage zu doppelten Integralen unter polaren Koordinaten und erklärt, warum das Integralergebnis Null und häufiges Fehler im Berechnungsprozess ist. In der Frage ist die integrale Region die herzförmige Region, die durch die polare Koordinatengleichung r = ½ (⅓) sinθ beschrieben wird, und die integrierte Funktion ist f (x, y) = y.

Schnelle Lösung mit Symmetrie:

Der Schlüssel besteht darin, die Symmetrie der integrierten Funktion und der integrierten Region zu beobachten. Die integrierte Funktion y ist eine merkwürdige Funktion über die y-Achse, d. H. F (x, -y) = -f (x, y). In der Zwischenzeit ist die herzförmige Region symmetrisch über die X-Achse. Dies bedeutet, dass für jeden Punkt (x, y) im Bereich der Punkt (x, -y) ebenfalls in der Gegend liegt. Daher sind die integralen Werte in den oberen und unteren Teilen der x-Achse in der Größe und dem Gegenteil der Symbole gleich.

∬ _σ y dσ = 0

Strengerer mathematischer Ausdruck:

∬ σ f (x, y) dxdy = ∫dx ∫ y 0 -y 0 f (x, y) dy = 0 (weil ∫ y 0 -y 0 f (x, y) dy = 0)

Häufige Fehler und korrekte Lösungen:

Viele Schüler versuchen, die Polar -Koordinaten -Transformation zu verwenden, um direkt zu berechnen, aber Fehler sind anfällig für eintreten. Die korrekten Polarkoordinaten -Integrationsschritte sind wie folgt:

∬ _σ y dσ = ∫ ₀ ^2π ∫ ₀ ^{½ (⅓) sin & thgr;} _½ (⅓) sin & t ₍ ^{R sin θ) *} r dr d & thgr ^;

Ein Fehler tritt normalerweise nach dem Integral von R auf, und das Integral von θ wird berechnet. Einige Schüler berechnen fälschlicherweise ∫ ₀ ^2π (½ (⅓) sinθ) dθ, ignorieren das Integral des konstanten Terms ½ oder glauben fälschlicherweise, dass ∫ ₀ ^2π sinθ dθ nicht gleich Null ist.

Richtige Berechnungsschritte:

1. Integral innenschicht (für R integral):

∫ ₀ ^{½ (⅓) sinθ} r² sinθ dr = [⅓r³ sin & thgr;] ₀ ^{½ (⅓) sinθ} = ⅓ (½ (⅓) sinθ) ³ sin & thgr;

2. Äußere Integration (Integration für θ):

∫ ₀ ^2π ⅓ (½ (⅓) sinθ) ³ sin & tgr; dθ

Obwohl dieses Integral kompliziert erscheint, da das integrale Ergebnis von sinθ auf [0, 2π] 0 beträgt und (½ (⅓) sinθ) ³ eine seltsame Funktion über sinθ ist, ist das Endergebnis immer noch 0.

Zusammenfassung: Mit Symmetrie können wir schnell feststellen, dass das Ergebnis des Doppelintegrals Null ist und komplexe Berechnungen vermeiden. Wenn es notwendig ist, durch polares Integral zu berechnen, müssen die Integrale der inneren und äußeren Schicht sorgfältig berechnet werden, um häufige Berechnungsfehler zu vermeiden. Denken Sie daran, die Symmetrieanalyse ist ein leistungsstarkes Werkzeug, um das integrale Problem zu lösen.

Das obige ist der detaillierte Inhalt vonWas ist der Grund für das doppelte Integral ∫∫ydσ = 0 in polaren Koordinaten?. Für weitere Informationen folgen Sie bitte anderen verwandten Artikeln auf der PHP chinesischen Website!