CURVE INTEGRAL -Umwandlung: Warum y = sin (t) anstelle einer polaren Koordinatentransformation verwenden?

Diskussion über den Ersatz von Kurven -Integralvariablen

Dieses Papier analysiert die Techniken der variablen Substitution in einem Kurvenintegralproblem. Die Antwort besteht nicht darin, die polare Koordinaten -Transformation zu verwenden, sondern die trigonometrische Funktionsubstitution zu verwenden, um die integrale Berechnung zu vereinfachen.

Die ursprüngliche integrale Formel lautet: $ \ int_0^1 \ frac {y^2} {\ sqrt {1-y^2}} dy $

Die Antwort ist die folgende Methode zum Austausch des Elements: Sei $ y = \ sin (t) $. Da das integrale Intervall $ y \ in (0, 1) $ ist, dann $ t \ in (0, \ frac {\ pi} {2}) $. In diesem Intervall sind $ \ sin (t) $ und $ \ cos (t) $ beide positive Werte.

Nach dem Ersetzen des Konverters wird die integrale Formel:

$ \ int_0^1 \ frac {y^2} {\ sqrt {1-y^2}} dy = \ int_0^{\ frac {\ pi} {2}} \ frac {\ sin^2t} {\ sqrt {{1 \ sin^2t} d (\ sqrt {$ {1 \ sin^2t} d (\ sqrt {$ {$ {$ $)

Da $ d (\ sin t) = \ cos t dt $ und $ \ sqrt {1 - \ sin^2t} = \ cos t $ (im Intervall von $ t \ in (0, \ frac {\ pi} {2}) $) kann das Integral vereinfacht werden:

$ \ int_0^{\ frac {\ pi} {2}} \ frac {\ sin^2t} {\ cos t} \ cos t dt = \ int_0^{\ frac {\ pi} {2}}} \ sin^2T dt $

Durch die Substitution von $ y = \ sin (t) $ wird die Wurzelzahl geschickt beseitigt und die integrale Berechnung vereinfacht. Dies spiegelt die Bedeutung der Auswahl der geeigneten variablen Substitution bei der Vereinfachung des Integrationsprozesses wider. Im Vergleich zur polaren Koordinatentransformation löst diese Methode dieses spezifische integrale Problem direkter und effektiver. Der Schlüssel besteht darin, die Transmutationsvariable vernünftigerweise auszuwählen und die Integralgrenze und die Differentialelemente korrekt zu behandeln.

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