CURVE INTEGRAL Variable Ersatz: So konvertieren Sie $ \ int_0^1 \ frac {y^2} {\ sqrt {1-y^2}} dy $ $ \ int_0^{\ frac {\ pi} {2}} \ sin^2Tdt $?

Detaillierte Erläuterung des Variablen Ersatz für Kurvenintegral: Vereinfachen Sie das qualitative Integral

In diesem Artikel wird im Detail erläutert, wie das feste Integral $ \ int_0^1 \ frac {y^2} {\ sqrt {1-y^2}} dy $ $ \ int_0^{\ frac {\ pi} {2}} \ sin^2TDT $ durch variable Ersatz durch variable Ersetzungen durch variable Ersatz. Viele Studenten werden auf Schwierigkeiten beim Umgang mit solchen Punkten stoßen.

Es handelt sich nicht um eine polare Koordinaten -Transformation, sondern eine einfache Variablenersatzmethode kann gelöst werden. Der Schlüssel besteht darin, die richtige Ersatzvariable auszuwählen.

Problemlösungsschritte:

Wir ersetzen die Variable $ y = \ sin (t) $. Da das ursprüngliche Integralintervall $ 0 \ Le y \ le 1 $ beträgt, beträgt das entsprechende $ T $ -Vervall $ 0 \ Le T \ le \ frac {\ pi} {2} $. In diesem Intervall sind beide $ \ sin (t) $ und $ \ cos (t) $ nicht negativ.

1. Variable ersetzen: Ersetzen Sie $ y = \ sin (t) $ in die ursprüngliche integrale Formel: $ \ int_0^1 \ frac {y^2} {\ sqrt {1-y^2}} dy $

2. Ersatzpunktlimit: Wenn $ y = 0 $, $ t = 0 $; Wenn $ y = 1 $ $ T = \ Frac {\ pi} {2} $.

3. Berechnen Sie das Differential: Derivat für $ y = \ sin (t) $, um $ dy = \ cos (t) dt $ zu erhalten

4. Ersetzen Sie die Integralformel: Ersetzen Sie $ y = \ sin (t) $ und $ dy = \ cos (t) dt $ in die ursprüngliche integrale Formel:

   $ \ int_0^{\ frac {\ pi} {2}} \ frac {\ sin^2t} {\ sqrt {1- \ sin^2t} \ cos (t) dt $

5. Vereinfachung: Da $ 1 - \ sin^2t = \ cos^2t $ und im Intervall $ 0 \ le t \ le \ frac {\ pi} {2} $$$, $ \ cos (t) \ ge 0 $, so $ \ sqrt {1- \ Sin^2T} = \ SQRT {{cos \ t) {\ c). Nach dem Ersatz wird die integrale Formel:

   $ \ int_0^{\ frac {\ pi} {2}} \ frac {\ sin^2t} {\ cos (t)} \ cos (t) dt $

6. Endergebnis: Nach der Vereinfachung bekommen wir:

   $ \ int_0^{\ frac {\ pi} {2}} \ sin^2t dt $

Durch diesen cleveren variablen Ersatz vereinfachen wir erfolgreich ein komplexes Integral in eine einfacher berechnete Form. Denken Sie daran, dass die Auswahl der richtigen Ersatzvariablen und die korrekte Behandlung der integralen Grenze und der differentiellen Begriffe der Schlüssel zur Lösung des Problems sind.

Das obige ist der detaillierte Inhalt vonCURVE INTEGRAL Variable Ersatz: So konvertieren Sie $ \ int_0^1 \ frac {y^2} {\ sqrt {1-y^2}} dy $ $ \ int_0^{\ frac {\ pi} {2}} \ sin^2Tdt $?. Für weitere Informationen folgen Sie bitte anderen verwandten Artikeln auf der PHP chinesischen Website!