Wie kann man den Winkel im Uhrzeigersinn zwischen zwei Vektoren sowohl in zwei als auch in drei Dimensionen direkt berechnen?

Direkte Methode zur Berechnung des Winkels im Uhrzeigersinn zwischen Vektoren

Beim Umgang mit zweidimensionalen Vektoren kann der Winkel im Uhrzeigersinn direkt mithilfe der Determinante berechnet werden und Skalarprodukt. Das Skalarprodukt gibt Auskunft über den Kosinus, während die Determinante den Sinus des Winkels angibt. Durch die Verwendung der atan2-Funktion können Sie den Winkel im Uhrzeigersinn wie folgt ermitteln:

dot = x1*x2 + y1*y2  # Dot product of [x1, y1] and [x2, y2]
det = x1*y2 - y1*x2  # Determinant
angle = atan2(det, dot)  # Clockwise angle

Beachten Sie, dass die Ausrichtung des Winkels mit dem Koordinatensystem übereinstimmt. Für ein rechtshändiges System (x rechts, y unten) ergeben Winkel im Uhrzeigersinn positive Werte. Durch Umkehren der Reihenfolge der Eingaben ändert sich das Vorzeichen des Winkels.

In drei Dimensionen, in denen Vektoren entlang beliebiger Ebenen liegen können, ist auch die Rotationsachse beliebig. Im Allgemeinen werden Winkel als positiv betrachtet, wobei die Achse auf einen positiven Winkel ausgerichtet ist. Das Skalarprodukt zwischen normalisierten Vektoren kann dann den Winkel bestimmen:

dot = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2  # Dot product of [x1, y1, z1] and [x2, y2, z2]
lenSq1 = x1*x1 + y1*y1 + z1*z1  # Squared length of vector 1
lenSq2 = x2*x2 + y2*y2 + z2*z2  # Squared length of vector 2
angle = acos(dot/sqrt(lenSq1 * lenSq2))  # Clockwise angle

In Fällen, in denen Vektoren innerhalb einer bekannten Ebene liegen, kann eine modifizierte 2D-Berechnung verwendet werden, indem der Normalenvektor der Ebene in die Determinante einbezogen wird:

dot = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2
det = n * (v1 × v2)  # Triple product
angle = atan2(det, dot)

wobei n der Einheitslängen-Normalenvektor ist.

Möglicherweise sind Anpassungen erforderlich, um den Winkel sicherzustellen liegt im gewünschten Bereich (z. B. [0, 360°]). Durch Addition von 2π zu negativen Ergebnissen oder Verwendung von atan2(-det, -dot) π kann der Winkel entsprechend angepasst werden.

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