目录
AVL树的概念
AVL树的插入
AVL树的四种旋转
右单旋
左单旋
左右双旋
右左双旋
查找
其他接口
析构函数
拷贝构造
拷贝赋值
总结
AVL树的概念
二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：
它的左右子树都是AVL树
左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
平衡因子的计算是右子树的高度减去左子树的高度的差值结果
如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在O(log N) ，搜索时间复杂度O( log N)。
AVL树节点的定义
`template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
AVLTreeNode<K, V> _left; //左孩子
AVLTreeNode<K, V> _right; //右孩子
AVLTreeNode<K, V>* _parent; //父亲结点
pair<K, V> _Kv; //键值int _bf; //平衡因子//构造函数AVLTreeNode(const pair<K, V>& Kv):_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_Kv(Kv),_bf(0){ }
};AVL树的定义template<class K, class V>
class AVLTree
{
typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
AVLTree()
:_root(nullptr)
{}
private:
Node* _root;
};`
AVL树的插入
AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入
过程可以分为两步：
按照二叉搜索树的方式插入新节点
与根结点比较如果比根大就往右子树插入，如果比根小就往左子树插入，直到走到合适的位置就插入，由于这里是三叉链所以需要处理结点之间的关联关系
`bool Insert(const pair<K, V> &kv)
{
if (!_root) _root = new Node(kv); //初始根节点
Node* cur = _root;Node* parent = _root;while (cur){K key = cur->_Kv.first;if (key > kv.first) //比根结点的key值小，{parent = cur;cur = cur->_left;}else if(key < kv.first)//比根结点的key值大，{parent = cur;cur = cur->_right;}else{return false; //插入失败}}//开始插入cur = new Node(kv);Node* newNode = cur;if (parent->_Kv.first > newNode->_Kv.first) //新插入的结点key值比根节点小就插入到左子树{parent->_left = newNode;newNode->_parent = parent;}else //新插入的结点key值比根节点大就插入到右子树{parent->_right = newNode;newNode->_parent = parent;}}`
调整节点的平衡因子
当左右子树的高度发生了变化，那么就需要对父亲及祖先路径上的所有结点的平衡因子进行调整
`//更新祖先路径的所以结点的平衡因子
/*
总结五种情况：
1、新增结点出现在父结点的左边，平衡因子减减
2、新增结点出现在父结点的右边，平衡因子加加
3、父亲的平衡因子为0就不再调整
4、父亲结点的平衡因子为1或者-1继续调整
5、父亲结点的平衡因子为2或者-2那就旋转
*/while (parent){if (parent->_left == cur) parent->_bf--; //1、if (parent->_right == cur) parent++; //2、if (parent->_bf == 0) break; //3、if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1)//4、{cur = parent;parent = parent->_parent;}if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2) //5、{//旋转if (parent->_bf == -2){if (cur->_bf == -1) RotateR(parent); //左边高，右单旋else RotateLR(parent); //左右双旋}else //右 parent->_bf == 2{if (cur->_bf == 1) RotateL(parent);//右边高左单旋转else RotateRL(parent); //右左双旋}break;}}`
AVL树的四种旋转
旋转的原则是遵循搜索树的规则，尽量让两边平衡
如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：
右单旋
新节点插入较高左子树的左侧—左左：右单旋
不管是哪种单旋都得考虑两种情况：
1、局部旋转，如果parent并不是树的_root结点，那么就需要调整subL和根结点的关系
2、独立旋转，parent就是树的_root结点，那么subL就是旋转后的根节点了
3、subLR有可能为null
`//右单旋
void RotateR(Node parent)
{
Node subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;if (subLR) subLR->_parent = parent; //防止subLR为nullptrsubL->_right = parent;Node* parent_parent = parent->_p arent; //指针备份parent->_parent = subL;if (_root == parent) //如果parent就是树的根{_root = subL; //subL取代parent_root->_parent = nullptr;}else //如果parent并不是树的根{if (parent_parent->_left == parent) parent->_left = subL;else parent_parent->_right = subL;subL->_parent = parent_parent; //subL去做parent_parent的孩子}//调节平衡因子subL->_bf = parent->_bf = 0;
}`
左单旋
新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋
跟右单旋几乎是一样的做法
1、局部旋转，如果parent并不是树的_root结点，那么就需要调整subL和根结点的关系
2、独立旋转，parent就是树的_root结点，那么subL就是旋转后的根节点了
3、subRL有可能为null
`//左单旋
void RotateL(Node parent)
{
Node subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;if (subRL) subRL->_parent = parent;subR->_left = parent;Node* parent_parent = parent->_parent;parent->_parent = subR;if (_root == parent){_root = subR;_root->_parent = nullptr;}else{if (parent_parent->_left == parent) parent_parent->_left = subR;else parent_parent->_right = subR;subR->_parent = parent_parent;}subR->_bf = parent->_bf = 0;
}`
左右双旋
新节点插入较高左子树的右侧—左右：先左单旋再右单旋
1、新增结点在b或c都会影响左右子树的高度，从而引发双旋
h > 0情况一：
h > 0，情况二：
h == 0情况三：
`//左右旋转
void RotateLR(Node parent)
{
Node subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
RotateL(parent->_left);RotateR(parent);if (bf == -1) //h > 0，新增结点在b{parent->_bf = 1;subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;}else if (bf == 1) //h > 0，新增结点在c{subL->_bf = -1;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if(bf == 0) //h = 0{parent->_bf = 0;subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;}}`
右左双旋
右左双旋跟左右双旋的情况基本是类似的，这里就不列举多种情况了
新节点插入较高右子树的左侧—右左：先右单旋再左单旋
`//右左旋转
void RotateRL(Node parent)
{
Node subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
RotateR(parent->_right);RotateL(parent);if (bf == -1) //h > 0，新增结点在b{parent->_bf = 0;subR->_bf = 1;subRL->_bf = 0;}else if (bf == 1) //h > 0，新增结点在c{parent->_bf = -1;subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;}else if (bf == 0)//h = 0{subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}
}查找Node Find(const K& key)
{
Node cur = _root;
while (cur)
{
if (key > cur->_Kv.first) cur = cur->_right; //左子树
else if (key < cur->_Kv.first) cur = cur->_left; //右子树
else return cur;
}
}其他接口
判断是不是平衡二叉树int height(Node* root) //求高度
{
return !root ? 0
: max(height(root->_left),
height(root->_right)) + 1;
}
void _Inorder(Node* root)//中序遍历
{
if (!root) return;
_Inorder(root->_left);
printf(“%d : %d\n”,root->_Kv.first, root->_Kv.second);
_Inorder(root->_right);
}
//判断是不是平衡二叉树
bool IsAVLTree()
{
return _IsAVLTree(_root);
}
bool _IsAVLTree(Node* root)
{
if (!root) return true;
int left = height(root->_left);
int right = height(root->_right);
//检查平衡因子
if (right - left != root->_bf)
{
printf(“错误的平衡因子 %d :%d\n”, root->_Kv.first, root->_Kv.second);
return false;
}
return (abs(right - left) < 2)
&& _IsAVLTree(root->_left)
&& _IsAVLTree(root->_right);
}析构函数//析构函数
~AVLTree()
{
Destroy(_root);
_root = nullptr;
}
void Destroy(Node root)//后序销毁结点
{
if (!root) return;
Destroy(root->_left);
Destroy(root->_right);
delete root;
}拷贝构造Node copy(Node* cp)
{
if (!cp) return nullptr;
Node* newnode = new Node(cp->_Kv);newnode->_left = copy(cp->_left);newnode->_right = copy(cp->_right);return newnode;
}
//拷贝构造
AVLTree(const AVLTree<K, V>& job)
{
if(&job != this)
_root = copy(job._root);
}拷贝赋值void operator=(AVLTree<K, V> tmp)
{
if (&tmp != this)
swap(tmp._root, this->_root);
}重载operator[ ]V& operator
{
return (Insert(make_pair(key, V())).first)->_Kv.second;
}`
VL树的完整实现代码博主已经放在 git.